Номер 122, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

122. Прямая $l$ параллельна стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ и не лежит в его плоскости. Докажите, что $l$ и $CD$ — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, учитывая, что один из углов параллелограмма равен:

a) $58^\circ$;

б) $133^\circ$.

Сначала докажем, что прямые $l$ и $CD$ являются скрещивающимися.

1. По определению скрещивающихся прямых, они не должны пересекаться и не должны быть параллельны.

2. Пусть плоскость параллелограмма $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию, прямая $l$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($l \not\subset \alpha$), и при этом $l$ параллельна прямой $BC$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \subset \alpha$).

3. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, $l \parallel \alpha$.

4. Если прямая параллельна плоскости, то она не имеет с ней общих точек. Прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Значит, прямая $l$ не может пересечься с прямой $CD$.

5. Теперь проверим, могут ли прямые $l$ и $CD$ быть параллельными. Предположим, что $l \parallel CD$. Мы знаем из условия, что $l \parallel BC$. Если бы оба эти утверждения были верны, то по свойству транзитивности параллельных прямых мы бы имели $BC \parallel CD$. Однако $BC$ и $CD$ — это смежные стороны параллелограмма, они пересекаются в точке $C$ и не являются параллельными. Следовательно, наше предположение неверно, и $l$ не параллельна $CD$.

6. Так как прямые $l$ и $CD$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Теперь найдем угол между ними.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся прямым.

Поскольку $l \parallel BC$, угол между прямыми $l$ и $CD$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$. Эти прямые — смежные стороны параллелограмма $ABCD$. Угол между двумя пересекающимися прямыми по определению является острым или прямым, то есть не превышает $90^\circ$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если один из углов равен $\gamma$, то другой равен $180^\circ - \gamma$. Угол между прямыми, содержащими смежные стороны, будет равен меньшему из этих двух углов.

a) Один из углов параллелограмма равен $58^\circ$. Это острый угол. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$. Угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен меньшему из двух углов, образованных при их пересечении, то есть $58^\circ$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $l$ и $CD$ также равен $58^\circ$.
Ответ: $58^\circ$.

б) Один из углов параллелограмма равен $133^\circ$. Это тупой угол. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$. Угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен меньшему из двух углов, то есть $47^\circ$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $l$ и $CD$ равен $47^\circ$.
Ответ: $47^\circ$.