Номер 168, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

168. Начертите параллелепипед $EFGHE_1F_1G_1H_1$ и постройте его сечение плоскостью $FKL$, где $K$ — середина ребра $EE_1$, а $L$ — середина ребра $GG_1$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Построение сечения

1. Начертим параллелепипед $EFGHE_1F_1G_1H_1$. По условию, точка $K$ — середина ребра $EE_1$, а точка $L$ — середина ребра $GG_1$. Сечение строится плоскостью, проходящей через точки $F, K, L$.

2. Для построения сечения и последующего доказательства введем векторный базис, связанный с вершиной $E$. Пусть $\vec{EF} = \vec{a}$, $\vec{EH} = \vec{b}$ и $\vec{EE_1} = \vec{c}$.

3. Выразим координаты заданных точек сечения через векторы базиса:

• Точка $F$ совпадает с концом вектора $\vec{EF}$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{r_F} = \vec{a}$.
• Точка $K$ — середина ребра $EE_1$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{r_K} = \frac{1}{2}\vec{EE_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• Точка $L$ — середина ребра $GG_1$. Найдем радиус-вектор точки $G$: $\vec{r_G} = \vec{EG} = \vec{EF} + \vec{EH} = \vec{a} + \vec{b}$. Радиус-вектор точки $G_1$: $\vec{r_{G_1}} = \vec{EG_1} = \vec{EF} + \vec{EH} + \vec{EE_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Тогда радиус-вектор точки $L$ равен: $\vec{r_L} = \frac{1}{2}(\vec{r_G} + \vec{r_{G_1}}) = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})) = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

4. Сечение — это многоугольник, образованный пересечением плоскости $(FKL)$ с гранями параллелепипеда. Найдем вершины этого многоугольника.

• Отрезок $FL$ является линией пересечения плоскости $(FKL)$ с гранью $FF_1G_1G$, так как обе точки $F$ и $L$ лежат в плоскости этой грани.
• Отрезок $FK$ является линией пересечения плоскости $(FKL)$ с гранью $EE_1F_1F$, так как обе точки $F$ и $K$ лежат в плоскости этой грани.
• Теперь найдем четвертую вершину сечения. Грань $EE_1H_1H$ параллельна грани $FF_1G_1G$. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $(FKL)$ с гранью $EE_1H_1H$ должна быть параллельна линии $FL$ и проходить через точку $K$, которая лежит на этой грани.
• Найдем вектор $\vec{FL}$: $\vec{FL} = \vec{r_L} - \vec{r_F} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \vec{a} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
• Проведем прямую через точку $K$ параллельно вектору $\vec{FL}$. Уравнение этой прямой: $\vec{P}(t) = \vec{r_K} + t \cdot \vec{FL} = \frac{1}{2}\vec{c} + t(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = t\vec{b} + (\frac{1}{2} + \frac{t}{2})\vec{c}$.
• Найдем точку пересечения этой прямой с ребрами грани $EE_1H_1H$. Рассмотрим ребро $E_1H_1$. Точки на этом ребре имеют вид $\vec{r_{E_1}} + u \cdot \vec{E_1H_1} = \vec{c} + u \cdot \vec{b}$ для $u \in [0, 1]$. Приравнивая выражения для точек, получаем: $t\vec{b} + (\frac{1}{2} + \frac{t}{2})\vec{c} = u\vec{b} + \vec{c}$. Из равенства коэффициентов при векторах базиса следует: $t=u$ и $\frac{1}{2} + \frac{t}{2} = 1$. Из второго уравнения находим $\frac{t}{2} = \frac{1}{2}$, то есть $t=1$. Тогда и $u=1$.
• При $t=1$ точка пересечения имеет радиус-вектор $\vec{P}(1) = 1\cdot\vec{b} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})\vec{c} = \vec{b} + \vec{c}$. Этот вектор соответствует вершине $H_1$ ($\vec{r_{H_1}} = \vec{EH_1} = \vec{EH} + \vec{EE_1} = \vec{b} + \vec{c}$).

5. Таким образом, четвертая вершина сечения — это точка $H_1$. Искомое сечение — это четырехугольник, последовательно соединяющий вершины $F, L, H_1, K$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $FLH_1K$.

Доказательство, что построенное сечение — параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник $FLH_1K$ является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это удобно сделать с помощью векторов: если векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны, то стороны параллельны и равны по длине.

1. Найдем векторы, соответствующие сторонам $FL$ и $KH_1$.

$\vec{FL} = \vec{r_L} - \vec{r_F} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \vec{a} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{KH_1} = \vec{r_{H_1}} - \vec{r_K} = (\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

2. Так как $\vec{FL} = \vec{KH_1}$, стороны $FL$ и $KH_1$ параллельны и равны по длине.

3. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

(Для полноты можно проверить и вторую пару сторон $FK$ и $LH_1$):

$\vec{FK} = \vec{r_K} - \vec{r_F} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{a}$

$\vec{LH_1} = \vec{r_{H_1}} - \vec{r_L} = (\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

Видим, что $\vec{FK} = \vec{LH_1}$, что подтверждает наш вывод.

Следовательно, четырехугольник $FLH_1K$ — параллелограмм.

Ответ: Построенное сечение $FLH_1K$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.