Номер 223, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

223. На рисунке 237 прямые $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны. Найдите отрезок $BC$, учитывая, что:

а) $OA = 6 \text{ см}$, $AB = 14 \text{ см}$, $OC = 3 \text{ см}$;

б) $AC = 18 \text{ см}$, $AB = 32 \text{ см}$, $OC = 10 \text{ см}$;

в*) $OA = p$, $AB = q$, $OC = r$;

г*) $AC = k$, $AB = l$, $OC = m$.

Рис. 237

Поскольку прямые OA, OB и OC попарно перпендикулярны, это означает, что углы ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC прямые, то есть равны 90°. Таким образом, мы имеем три прямоугольных треугольника с общей вершиной O.

а)

Дано: $OA = 6$ см, $AB = 14$ см, $OC = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (∠AOB = 90°). По теореме Пифагора, $AB^2 = OA^2 + OB^2$. Отсюда мы можем найти квадрат длины катета OB:

$OB^2 = AB^2 - OA^2 = 14^2 - 6^2 = 196 - 36 = 160$ см².

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BOC (∠BOC = 90°). По теореме Пифагора, $BC^2 = OB^2 + OC^2$. Подставим известные значения:

$BC^2 = 160 + 3^2 = 160 + 9 = 169$ см².

Найдем длину отрезка BC:

$BC = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Дано: $AC = 18$ см, $AB = 32$ см, $OC = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC (∠AOC = 90°). По теореме Пифагора, $AC^2 = OA^2 + OC^2$. Найдем квадрат катета OA:

$OA^2 = AC^2 - OC^2 = 18^2 - 10^2 = 324 - 100 = 224$ см².

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (∠AOB = 90°). По теореме Пифагора, $AB^2 = OA^2 + OB^2$. Найдем квадрат катета OB:

$OB^2 = AB^2 - OA^2 = 32^2 - 224 = 1024 - 224 = 800$ см².

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник BOC (∠BOC = 90°). По теореме Пифагора, $BC^2 = OB^2 + OC^2$:

$BC^2 = 800 + 10^2 = 800 + 100 = 900$ см².

Найдем длину отрезка BC:

$BC = \sqrt{900} = 30$ см.

Ответ: 30 см.

в*)

Дано: $OA = p$, $AB = q$, $OC = r$.

Аналогично пункту а), из прямоугольного треугольника AOB находим $OB^2$:

$OB^2 = AB^2 - OA^2 = q^2 - p^2$.

Из прямоугольного треугольника BOC находим $BC^2$:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 = (q^2 - p^2) + r^2 = q^2 - p^2 + r^2$.

Тогда длина отрезка BC равна:

$BC = \sqrt{q^2 - p^2 + r^2}$.

Ответ: $\sqrt{q^2 - p^2 + r^2}$.

г*)

Дано: $AC = k$, $AB = l$, $OC = m$.

Аналогично пункту б), из прямоугольного треугольника AOC находим $OA^2$:

$OA^2 = AC^2 - OC^2 = k^2 - m^2$.

Из прямоугольного треугольника AOB находим $OB^2$:

$OB^2 = AB^2 - OA^2 = l^2 - (k^2 - m^2) = l^2 - k^2 + m^2$.

Из прямоугольного треугольника BOC находим $BC^2$:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 = (l^2 - k^2 + m^2) + m^2 = l^2 - k^2 + 2m^2$.

Тогда длина отрезка BC равна:

$BC = \sqrt{l^2 - k^2 + 2m^2}$.

Ответ: $\sqrt{l^2 - k^2 + 2m^2}$.