Номер 222, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

222. Дан прямоугольный треугольник $EFG$ с прямым углом $F$ и катетами $FE$ и $FG$, равными $6$ см и $8$ см соответственно. От вершины $F$ на луче, перпендикулярном плоскости треугольника, отложен отрезок $FA$, равный $12$ см, а на гипотенузе $EG$ отмечена её середина $M$ (рис. 236). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AFM$.

Рис. 236

Для решения задачи выполним последовательно следующие шаги.

1. Найдем длину медианы FM в треугольнике EFG.

Треугольник $EFG$ является прямоугольным с прямым углом $F$ и катетами $FE = 6$ см и $FG = 8$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $EG$:

$EG = \sqrt{FE^2 + FG^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см.}$

Точка $M$ — середина гипотенузы $EG$. Следовательно, отрезок $FM$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине гипотенузы:

$FM = \frac{1}{2} EG = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ см.}$

2. Определим вид треугольника AFM и найдем длины его сторон.

Согласно условию, луч, содержащий отрезок $FA$, перпендикулярен плоскости треугольника $EFG$. Это означает, что отрезок $FA$ перпендикулярен любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку $F$. Так как отрезок $FM$ лежит в плоскости треугольника $EFG$, то $FA \perp FM$.

Таким образом, треугольник $AFM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. Его катеты — это $FA$ и $FM$.

Найдем длину гипотенузы $AM$ в треугольнике $AFM$ по теореме Пифагора, зная длины катетов $FA = 12$ см и $FM = 5$ см:

$AM = \sqrt{FA^2 + FM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см.}$

3. Вычислим радиус окружности, описанной около треугольника AFM.

Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. Для прямоугольного треугольника $AFM$ гипотенузой является сторона $AM$.

Следовательно, радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{1}{2} AM = \frac{13}{2} = 6,5 \text{ см.}$

Ответ: 6,5 см.