Номер 234, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

234. Через центр $O$ описанной около треугольника $ABC$ окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника (рис. 238). Докажите, что каждая точка $X$ этой прямой равноудалена от вершин треугольника.

Рис. 238

Чтобы доказать, что каждая точка $X$ данной прямой равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$, необходимо доказать равенство длин отрезков $XA$, $XB$ и $XC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$, образованные точкой $X$, центром описанной окружности $O$ и вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$.

1. По условию, прямая, содержащая отрезок $XO$, перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Так как отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ лежат в плоскости $ABC$ и проходят через точку $O$, то $XO \perp OA$, $XO \perp OB$ и $XO \perp OC$. Следовательно, треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

2. Точка $O$ является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности. По определению, все вершины треугольника ($A$, $B$, $C$) лежат на окружности и, следовательно, равноудалены от ее центра. Таким образом, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, и их длины равны: $OA = OB = OC$.

3. Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$:

• Катет $XO$ у них является общим.
• Катеты $OA$, $OB$ и $OC$ равны между собой как радиусы описанной окружности.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ равны по двум катетам.

4. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. В данном случае, гипотенузы этих треугольников равны: $XA = XB = XC$.

Таким образом, мы доказали, что любая точка $X$ на прямой, проходящей через центр описанной окружности и перпендикулярной плоскости треугольника, равноудалена от вершин этого треугольника.

Ответ: Равенство расстояний $XA=XB=XC$ следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ по двум катетам ($XO$ — общий катет, а катеты $OA$, $OB$ и $OC$ равны как радиусы описанной окружности).