Номер 240, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

240. Все грани треугольной пирамиды $IJKL$ — правильные треугольники со стороной 6 см. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $KL$ и перпендикулярной ему, и найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

По условию, все грани треугольной пирамиды IJKL — правильные треугольники со стороной 6 см. Это означает, что пирамида является правильным тетраэдром.
Требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра KL и перпендикулярной ему.

1. Обозначим середину ребра KL точкой M. Таким образом, $KM = ML = 6 / 2 = 3$ см.
2. Рассмотрим грань ΔKJL. Это правильный треугольник. Отрезок JM соединяет вершину J с серединой противолежащей стороны KL, следовательно, JM является медианой. В правильном треугольнике медиана также является высотой, поэтому JM перпендикулярна KL ($JM \perp KL$).
3. Аналогично рассмотрим грань ΔKIL. Это также правильный треугольник. Отрезок IM является медианой, проведенной к стороне KL, а значит, и высотой. Следовательно, IM перпендикулярна KL ($IM \perp KL$).
4. Прямые IM и JM пересекаются в точке M. Так как прямая KL перпендикулярна двум пересекающимся прямым (IM и JM), лежащим в плоскости (IJM), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая KL перпендикулярна всей плоскости (IJM).
5. Таким образом, плоскость (IJM) проходит через точку M (середину KL) и перпендикулярна ребру KL. Следовательно, искомым сечением является треугольник IJM.

Нахождение площади сечения

Сечением является треугольник IJM. Чтобы найти его площадь, определим длины его сторон.
1. Сторона IJ является ребром тетраэдра, поэтому ее длина по условию равна 6 см.
$IJ = 6$ см.
2. Стороны IM и JM являются высотами в равных правильных треугольниках KIL и KJL со стороной $a=6$ см. Длину высоты h правильного треугольника можно найти по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Подставляя значение $a=6$, получаем:
$IM = JM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
3. Треугольник IJM является равнобедренным, так как $IM = JM = 3\sqrt{3}$ см. Основание этого треугольника — $IJ = 6$ см.
4. Для вычисления площади треугольника IJM проведем высоту MH к основанию IJ. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому точка H делит сторону IJ пополам:
$IH = HJ = \frac{IJ}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник IMH (с прямым углом H). По теореме Пифагора, $IM^2 = IH^2 + MH^2$. Выразим высоту MH:
$MH^2 = IM^2 - IH^2$
$MH^2 = (3\sqrt{3})^2 - 3^2 = (9 \cdot 3) - 9 = 27 - 9 = 18$
$MH = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.
6. Площадь треугольника IJM (обозначим ее S) равна половине произведения основания на высоту:
$S_{IJM} = \frac{1}{2} \cdot IJ \cdot MH$
$S_{IJM} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $9\sqrt{2}$ см².