пространственное моделирование, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Пространственное моделирование

При выполнении задания на определение вертикальности столба для забора (рис. 240) ученик проверил вертикальность первого из столбов, а дальше, измерив высоту первого и второго столбов и расстояние между ними снизу и сверху, сделал вывод о том, что и второй столб тоже вертикальный. Определите, обеспечивают ли полученные учеником сведения правильность его вывода. Ответ обоснуйте.

Рис. 240

Да, полученные учеником сведения обеспечивают правильность его вывода. Обоснуем это с помощью геометрии.

Представим два столба в пространстве как два отрезка. Обозначим концы первого столба как точки $A$ (низ) и $B$ (верх), а концы второго столба — как $C$ (низ) и $D$ (верх).

Ученик провел следующие измерения и получил следующие данные:

1. Первый столб, отрезок $AB$, строго вертикален.
2. Высоты столбов равны, то есть длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$: $|AB| = |CD|$.
3. Расстояние между столбами снизу, то есть длина отрезка $AC$, равно расстоянию между столбами сверху, то есть длине отрезка $BD$: $|AC| = |BD|$.

Рассмотрим четырехугольник $ACDB$, образованный точками оснований и верхушек столбов. В этом четырехугольнике стороны $AB$ и $CD$ являются противоположными, так же как и стороны $AC$ и $BD$.

Согласно данным ученика, в этом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: $|AB| = |CD|$ и $|AC| = |BD|$.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, фигура $ACDB$ — это параллелограмм.

Из основного свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны не только равны, но и параллельны. Таким образом, отрезок $AB$ параллелен отрезку $CD$ ($AB \parallel CD$).

Поскольку нам известно, что первый столб ($AB$) вертикален, а второй столб ($CD$) параллелен первому, то из этого следует, что второй столб также является вертикальным.

Ответ: Да, полученные учеником сведения обеспечивают правильность его вывода. Измеренные равенства доказывают, что четырехугольник, образованный концами столбов, является параллелограммом. Следовательно, столбы как противоположные стороны этого параллелограмма параллельны друг другу. Так как первый столб по условию вертикален, то и параллельный ему второй столб тоже будет вертикальным.