Номер 7, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сформулируйте утверждение о расстоянии до плоскости от любой точки прямой, параллельной этой плоскости.

Утверждение: Если прямая параллельна плоскости, то все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Это утверждение также известно как свойство параллельных прямой и плоскости. Расстояние от любой точки такой прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Доказательство:

Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Выберем на прямой $a$ две произвольные точки $M_1$ и $M_2$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим из точек $M_1$ и $M_2$ перпендикуляры $M_1H_1$ и $M_2H_2$ на плоскость $\alpha$. Точки $H_1$ и $H_2$ являются основаниями этих перпендикуляров и лежат в плоскости $\alpha$. Длины этих перпендикуляров, $|M_1H_1|$ и $|M_2H_2|$, и есть искомые расстояния от точек $M_1$ и $M_2$ до плоскости $\alpha$. Нам нужно доказать, что $|M_1H_1| = |M_2H_2|$.

По определению перпендикуляра к плоскости, $M_1H_1 \perp \alpha$ и $M_2H_2 \perp \alpha$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны друг другу: $M_1H_1 \parallel M_2H_2$.

Две параллельные прямые $M_1H_1$ и $M_2H_2$ определяют единственную плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат точки $M_1, M_2, H_1, H_2$. Следовательно, прямая $M_1M_2$ (то есть прямая $a$) и прямая $H_1H_2$ также лежат в плоскости $\beta$.

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Прямая $H_1H_2$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямые $a$ и $H_1H_2$ лежат в одной плоскости $\beta$ и $a$ не пересекает $\alpha$, то она не может пересекать и прямую $H_1H_2$. Следовательно, прямые $a$ и $H_1H_2$ параллельны: $M_1M_2 \parallel H_1H_2$.

Рассмотрим четырехугольник $M_1M_2H_2H_1$. В нем противоположные стороны попарно параллельны: $M_1M_2 \parallel H_1H_2$ и $M_1H_1 \parallel M_2H_2$. Значит, по определению, этот четырехугольник — параллелограмм.

Кроме того, так как $M_1H_1 \perp \alpha$, а прямая $H_1H_2$ лежит в плоскости $\alpha$, то $M_1H_1 \perp H_1H_2$. Это означает, что угол $\angle M_1H_1H_2$ — прямой. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Основное свойство прямоугольника — равенство длин противоположных сторон. Следовательно, $|M_1H_1| = |M_2H_2|$.

Поскольку точки $M_1$ и $M_2$ были выбраны на прямой $a$ произвольно, мы доказали, что расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\alpha$ является постоянной величиной.

Ответ: Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки равноудалены от этой плоскости, то есть находятся на одном и том же расстоянии от нее.