Номер 11, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Укажите, в чём отличие:

а) перпендикуляра к плоскости и прямой, перпендикулярной плоскости;

б) наклонной к плоскости и прямой, пересекающей плоскость.

а)

Различие между этими понятиями заключается в том, что они описывают разные по своей природе геометрические объекты, хотя и тесно связанные.

Прямая, перпендикулярная плоскости, — это бесконечная прямая линия, которая пересекает данную плоскость и образует с любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения, прямой угол ($90^\circ$). Это понятие описывает взаимное расположение двух бесконечных объектов — прямой и плоскости.

Перпендикуляр к плоскости — это, как правило, отрезок, проведённый из точки (не лежащей в плоскости) к этой плоскости таким образом, что он перпендикулярен ей. Длина этого отрезка представляет собой кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Таким образом, перпендикуляр — это конечный объект (отрезок), являющийся частью бесконечной прямой, перпендикулярной плоскости.

Следовательно, основное отличие: «прямая, перпендикулярная плоскости» — это бесконечная линия, а «перпендикуляр» — это конечный отрезок.

Ответ: Перпендикуляр к плоскости — это отрезок, а прямая, перпендикулярная плоскости, — это бесконечная прямая. Таким образом, отличие в том, что одно является конечным отрезком, а другое — бесконечной прямой.

б)

Эти понятия также различаются как по своей природе (отрезок и прямая), так и по своим свойствам относительно плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, — это любая бесконечная прямая, которая имеет с плоскостью ровно одну общую точку. Это общее название для всех прямых, которые не параллельны плоскости и не лежат в ней. Пересекающая прямая может быть как перпендикулярной плоскости, так и неперпендикулярной (в этом случае её прямую-носитель называют наклонной).

Наклонная к плоскости — это отрезок, соединяющий точку (не лежащую в плоскости) с точкой на плоскости, при условии, что этот отрезок не перпендикулярен плоскости. Прямая, содержащая наклонную, образует с плоскостью острый угол (отличный от $0^\circ$ и $90^\circ$).

Таким образом, отличия заключаются в двух аспектах. Во-первых, наклонная — это отрезок, а пересекающая прямая — это бесконечная прямая. Во-вторых, понятие «наклонная» по определению исключает случай перпендикулярности, тогда как «пересекающая прямая» включает его как частный случай.

Ответ: Наклонная — это отрезок, который не перпендикулярен плоскости, в то время как пересекающая прямая — это бесконечная прямая, которая может быть как перпендикулярной, так и неперпендикулярной. Ключевые отличия: 1) отрезок против прямой; 2) обязательная неперпендикулярность против любого вида пересечения.