Номер 250, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

250. Точка $K$ принадлежит прямой $p$, проходящей через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ и перпендикулярной его плоскости. Учитывая, что $KD = 6$ см, $KB = 7$ см, $KC = 9$ см, найдите расстояние:

a) от точки $K$ до плоскости прямоугольника $ABCD$;

б*) между прямыми $AK$ и $CD$.

По условию задачи, прямая $p$, на которой лежит точка $K$, проходит через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что отрезок $AK$ является перпендикуляром к плоскости $(ABCD)$.

Из этого следует, что $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABCD)$ и проходящей через точку $A$. В частности, $AK \perp AB$ и $AK \perp AD$. Таким образом, треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle KAD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

а) Расстояние от точки $K$ до плоскости прямоугольника $ABCD$

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Поскольку по условию $AK \perp (ABCD)$, то искомое расстояние равно длине отрезка $AK$.

Обозначим длину отрезка $AK = h$, длину стороны $AD = a$, и длину стороны $AB = b$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам:

• В $\triangle KAD$: $AK^2 + AD^2 = KD^2 \implies h^2 + a^2 = 6^2 = 36$
• В $\triangle KAB$: $AK^2 + AB^2 = KB^2 \implies h^2 + b^2 = 7^2 = 49$

Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ находится из прямоугольного $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Так как в прямоугольнике $BC = AD = a$, то $AC^2 = b^2 + a^2$.

Поскольку $AK \perp (ABCD)$, то $AK$ перпендикулярен и диагонали $AC$. Значит, $\triangle KAC$ также прямоугольный. По теореме Пифагора:

$AK^2 + AC^2 = KC^2 \implies h^2 + (a^2 + b^2) = 9^2 = 81$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} h^2 + a^2 = 36 \\ h^2 + b^2 = 49 \\ h^2 + a^2 + b^2 = 81 \end{cases}$

Из первого и второго уравнений выразим $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = 36 - h^2$

$b^2 = 49 - h^2$

Подставим эти выражения в третье уравнение:

$h^2 + (36 - h^2) + (49 - h^2) = 81$

$85 - h^2 = 81$

$h^2 = 85 - 81 = 4$

$h = \sqrt{4} = 2$

Расстояние от точки $K$ до плоскости $ABCD$ равно 2 см.

Ответ: 2 см.

б*) Расстояние между прямыми $AK$ и $CD$

Прямые $AK$ и $CD$ являются скрещивающимися, так как прямая $AK$ пересекает плоскость $(ABCD)$ в точке $A$, которая не лежит на прямой $CD$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Найдем этот общий перпендикуляр.

1. По условию, прямая $AK$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Прямая $AD$ лежит в этой плоскости, следовательно, $AK \perp AD$.

2. В прямоугольнике $ABCD$ смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp CD$.

Так как отрезок $AD$ перпендикулярен обеим прямым $AK$ и $CD$, он и является их общим перпендикуляром. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $AD$.

Найдем длину $AD=a$ из уравнения, полученного в пункте а):

$h^2 + a^2 = 36$

Мы уже вычислили, что $h=2$, значит $h^2=4$.

$4 + a^2 = 36$

$a^2 = 36 - 4 = 32$

$a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Расстояние между прямыми $AK$ и $CD$ равно $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.