Номер 255, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

255. Из вершины $B$ тупого угла параллелограмма $ABCD$ к его плоскости возведён перпендикуляр $BH$. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что $AH = 5$ см, $HD = HC = 8,5$ см, $AC = 1,5\sqrt{33}$ см.

По условию задачи, BH — перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD. Это означает, что отрезок BH перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку B. Следовательно, треугольники $\triangle HBA$ и $\triangle HBC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине B.

Применим теорему Пифагора для этих треугольников:

• В прямоугольном треугольнике $\triangle HBA$: $AH^2 = HB^2 + AB^2$. Подставим известное значение $AH = 5$ см: $5^2 = HB^2 + AB^2$, откуда $25 = HB^2 + AB^2$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle HBC$: $HC^2 = HB^2 + BC^2$. Подставим известное значение $HC = 8,5$ см: $8,5^2 = HB^2 + BC^2$, откуда $72,25 = HB^2 + BC^2$.

Рассмотрим наклонные HD и HC, проведенные из точки H к плоскости параллелограмма. По условию, $HC = HD = 8,5$ см. Так как BH — это перпендикуляр к плоскости, то BC и BD — это проекции наклонных HC и HD на эту плоскость. Поскольку наклонные равны, то равны и их проекции: $BC = BD$.

Теперь воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Обозначим стороны параллелограмма как $AB = a$ и $BC = b$. Мы уже установили, что $BD = BC = b$.

Подставим известные значения в формулу свойства диагоналей:

• $AC = 1,5\sqrt{33}$ см, следовательно $AC^2 = (1,5)^2 \cdot (\sqrt{33})^2 = 2,25 \cdot 33 = 74,25$ см$^2$.
• $BD^2 = b^2$.
• $AB^2 = a^2$.
• $BC^2 = b^2$.

Получаем уравнение: $74,25 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Упростим это уравнение: $74,25 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$, что приводит к $74,25 = 2a^2 + b^2$.

Теперь составим систему из двух уравнений. Первое уравнение мы получили из свойства диагоналей. Второе получим из соотношений в прямоугольных треугольниках, выразив из них $HB^2$:

$HB^2 = 25 - AB^2 = 25 - a^2$

$HB^2 = 72,25 - BC^2 = 72,25 - b^2$

Приравнивая правые части, получаем: $25 - a^2 = 72,25 - b^2$, откуда $b^2 - a^2 = 72,25 - 25 = 47,25$.

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} b^2 + 2a^2 = 74,25 \\ b^2 - a^2 = 47,25 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(b^2 + 2a^2) - (b^2 - a^2) = 74,25 - 47,25$

$3a^2 = 27$

$a^2 = 9$

$a = 3$ см (так как длина стороны — положительная величина).

Таким образом, сторона $AB = 3$ см.

Теперь найдем вторую сторону $b$, подставив $a^2 = 9$ во второе уравнение системы:

$b^2 - 9 = 47,25$

$b^2 = 47,25 + 9 = 56,25$

$b = \sqrt{56,25} = 7,5$ см.

Таким образом, сторона $BC = 7,5$ см.

Стороны параллелограмма равны 3 см и 7,5 см. Проверим, что угол B действительно тупой, используя теорему косинусов для треугольника ABC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$74,25 = 3^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7,5 \cdot \cos(\angle B)$

$74,25 = 9 + 56,25 - 45 \cdot \cos(\angle B)$

$74,25 = 65,25 - 45 \cdot \cos(\angle B)$

$9 = -45 \cdot \cos(\angle B)$

$\cos(\angle B) = -\frac{9}{45} = -0,2$

Так как косинус угла B отрицателен, угол B является тупым, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны параллелограмма равны 3 см и 7,5 см.