Номер 260, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

260*. Дан прямоугольный параллелепипед $PQRSP_1Q_1R_1S_1$ (см. рис. 260).

Назовите отрезки, длина которых выражает расстояние между скрещивающимися прямыми:

а) $PQ$ и $SS_1$;

б) $PQ_1$ и $SS_1$;

в) $PR$ и $P_1S_1$.

Рис. 260

В данной задаче мы ищем отрезок, длина которого равна расстоянию между двумя скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и концы которого лежат на этих прямых.

а) PQ и SS₁

Прямые $(PQ)$ и $(SS₁)$ являются скрещивающимися. Прямая $(PQ)$ лежит в плоскости нижнего основания $(PQRS)$, а прямая $(SS₁)$ является боковым ребром, перпендикулярным этому основанию.
Рассмотрим отрезок $(PS)$.

1. Точка $(P)$ лежит на прямой $(PQ)$, а точка $(S)$ лежит на прямой $(SS₁)$.
2. Так как $(PQRSP₁Q₁R₁S₁)$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $(PQRS)$ является прямоугольником. Следовательно, смежные стороны перпендикулярны: $(PS \perp PQ)$.
3. Боковое ребро $(SS₁)$ перпендикулярно плоскости основания $(PQRS)$, а значит, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $(SS₁ \perp PS)$.

Поскольку отрезок $(PS)$ перпендикулярен обеим прямым $(PQ)$ и $(SS₁)$ и его концы лежат на этих прямых, он является их общим перпендикуляром. Его длина и есть расстояние между данными прямыми.
Ответ: PS.

б) PQ₁ и SS₁

Прямые $(PQ₁)$ и $(SS₁)$ являются скрещивающимися. Прямая $(PQ₁)$ — это диагональ передней грани $(PQQ₁P₁)$, а прямая $(SS₁)$ — боковое ребро задней грани.
Прямая $(SS₁)$ параллельна прямой $(QQ₁)$ (как противоположные ребра прямоугольной грани $(QRR₁Q₁)$), а прямая $(QQ₁)$ лежит в плоскости $(PQQ₁P₁)$. Следовательно, прямая $(SS₁)$ параллельна плоскости $(PQQ₁P₁)$, в которой лежит прямая $(PQ₁)$.
Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от любой точки прямой $(SS₁)$ до плоскости $(PQQ₁P₁)$. Возьмем точку $(S)$ на прямой $(SS₁)$.
Расстоянием от точки $(S)$ до плоскости $(PQQ₁P₁)$ является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1. В прямоугольном параллелепипеде ребро $(PS)$ перпендикулярно ребру $(PQ)$ (так как $(PQRS)$ — прямоугольник).
2. Ребро $(PS)$ также перпендикулярно ребру $(PP₁)$ (так как $(PP₁S₁S)$ — прямоугольник).

Поскольку $(PQ)$ и $(PP₁)$ — две пересекающиеся прямые в плоскости $(PQQ₁P₁)$, то ребро $(PS)$ перпендикулярно всей плоскости $(PQQ₁P₁)$. Таким образом, длина отрезка $(PS)$ является расстоянием от точки $(S)$ до плоскости $(PQQ₁P₁)$, а значит, и расстоянием между прямыми $(PQ₁)$ и $(SS₁)$.
Ответ: PS.

в) PR и P₁S₁

Прямые $(PR)$ и $(P₁S₁)$ являются скрещивающимися. Прямая $(PR)$ — диагональ нижнего основания, она лежит в плоскости $(PQRS)$. Прямая $(P₁S₁)$ — диагональ верхнего основания, она лежит в плоскости $(P₁Q₁R₁S₁)$. Эти плоскости параллельны.
Расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между основаниями параллелепипеда равно длине любого бокового ребра, например, $(PP₁)$.
Проверим, является ли $(PP₁)$ общим перпендикуляром.

1. Точка $(P)$ лежит на прямой $(PR)$, а точка $(P₁)$ — на прямой $(P₁S₁)$.
2. Боковое ребро $(PP₁)$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $(PQRS)$. Так как прямая $(PR)$ лежит в этой плоскости, то $(PP₁ \perp PR)$.
3. Аналогично, ребро $(PP₁)$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(P₁Q₁R₁S₁)$. Так как прямая $(P₁S₁)$ лежит в этой плоскости, то $(PP₁ \perp P₁S₁)$.

Отрезок $(PP₁)$ перпендикулярен обеим прямым и соединяет их, следовательно, его длина является расстоянием между прямыми $(PR)$ и $(P₁S₁)$.
Ответ: PP₁.