Номер 264, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

264. Отрезок $AD$ длиной 12 см перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ и боковой стороной, равными 6 см и 5 см соответственно. Определите, на каких расстояниях от прямой $BC$ находятся концы отрезка $AD$.

Задача состоит в том, чтобы найти длины перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $D$ на прямую $BC$.

Расстояние от точки A до прямой BC

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости треугольника $ABC$ — это длина высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к основанию $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, его высота $AH$, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $BC$ пополам:$HC = BH = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ ( $\angle AHC = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора найдем катет $AH$:$AC^2 = AH^2 + HC^2$$5^2 = AH^2 + 3^2$$25 = AH^2 + 9$$AH^2 = 25 - 9 = 16$$AH = \sqrt{16} = 4$ см. Таким образом, расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

Расстояние от точки D до прямой BC

По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$.$AH$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $BC$ в плоскости $(ABC)$. Таким образом, $AH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая ($BC$), проведенная в плоскости через основание наклонной ($H$), перпендикулярна ее проекции ($AH$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DH$). Так как $BC \perp AH$, то $BC \perp DH$. Следовательно, длина отрезка $DH$ является расстоянием от точки $D$ до прямой $BC$.

Поскольку $AD \perp (ABC)$, то отрезок $AD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Значит, $AD \perp AH$, и треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом $A$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$:$DH^2 = AD^2 + AH^2$$DH^2 = 12^2 + 4^2$$DH^2 = 144 + 16$$DH^2 = 160$$DH = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см. Таким образом, расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ составляет $4\sqrt{10}$ см.

Ответ: $4\sqrt{10}$ см.