Номер 270, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

270. Через основание $AB$ трапеции $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, отстоящая от другого основания на $m$ (рис. 263). Найдите расстояние от точки $O$ пересечения диагоналей трапеции до плоскости $\alpha$, учитывая, что основания трапеции относятся как $p : q$.

Рис. 263

1. Подобие треугольников в трапеции

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD и точкой пересечения диагоналей O. Треугольники ΔAOB и ΔCOD подобны, так как основания трапеции параллельны ($AB \parallel CD$). Углы этих треугольников равны:
- $ \angle OAB = \angle OCD $ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB, CD и секущей AC).
- $ \angle OBA = \angle ODC $ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB, CD и секущей BD).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно отношению оснований, которое по условию задачи равно $p:q$: $${AO \over CO} = {BO \over DO} = {AB \over CD} = {p \over q}$$

2. Отношение отрезков диагонали

Найдем, в каком отношении точка O делит диагональ AC. Из соотношения ${AO \over CO} = {p \over q}$ выразим CO через AO: $CO = AO \cdot {q \over p}$.

Длина всей диагонали AC является суммой длин ее частей: $AC = AO + CO = AO + AO \cdot {q \over p} = AO \cdot (1 + {q \over p}) = AO \cdot {p+q \over p}$.

Следовательно, отношение отрезка AO к длине всей диагонали AC составляет: $${AO \over AC} = {AO \over AO \cdot {p+q \over p}} = {p \over p+q}$$

3. Вычисление искомого расстояния

Пусть h - искомое расстояние от точки O до плоскости α. По условию, плоскость α проходит через основание AB, а расстояние от основания CD до α равно m.

Проведем перпендикуляры из точек C и O на плоскость α и назовем их основания C' и O' соответственно. Так как основание $CD \parallel AB$ и $AB \subset \alpha$, то $CD \parallel \alpha$. Поэтому расстояние от любой точки на CD до плоскости α равно m. Таким образом, по определению расстояния $CC' = m$ и $OO' = h$.

Рассмотрим плоскость, содержащую диагональ AC и перпендикуляр CC'. Так как OO' и CC' перпендикулярны одной и той же плоскости α, они параллельны друг другу: $OO' \parallel CC'$.

В этой плоскости лежат треугольники ΔAOO' и ΔACC'. Они подобны, так как у них общий угол при вершине A, а углы при вершинах O' и C' прямые. Из подобия следует равенство отношений соответственных сторон: $${OO' \over CC'} = {AO \over AC}$$

Подставляя известные значения ($OO' = h$, $CC' = m$) и найденное ранее отношение для отрезков диагонали, получаем: $${h \over m} = {p \over p+q}$$

Отсюда находим искомое расстояние h: $$h = {mp \over p+q}$$

Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости α равно ${mp \over p+q}$.