Номер 276, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

276*. В четырёхугольной пирамиде все рёбра основания равны $a$, а все боковые рёбра — $b$ (рис. 265).

Найдите расстояние между боковым ребром и ребром основания, не лежащим с ним в одной плоскости.

Рис. 265

Пусть дана четырехугольная пирамида OPQRS, где O — вершина, а PQRS — основание. Согласно условию, все ребра основания равны a: $PQ = QR = RS = SP = a$. Это означает, что основание PQRS является ромбом. Все боковые ребра равны b: $OP = OQ = OR = OS = b$. Так как боковые ребра равны, вершина пирамиды O проецируется в центр окружности, описанной около основания. Окружность можно описать около ромба только в том случае, если ромб является квадратом. Следовательно, PQRS — квадрат со стороной a, а данная пирамида — правильная четырехугольная пирамида.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми — боковым ребром и ребром основания, не лежащим с ним в одной плоскости. Возьмем, к примеру, боковое ребро OP и ребро основания QR.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Так как в основании лежит квадрат PQRS, то сторона QR параллельна стороне PS ($QR \parallel PS$). Прямая PS лежит в плоскости боковой грани OPS. Следовательно, прямая QR параллельна плоскости OPS. Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми OP и QR равно расстоянию от любой точки прямой QR до плоскости OPS. Найдем расстояние от точки Q до плоскости OPS. Обозначим это расстояние как h.

Для нахождения расстояния h воспользуемся методом объемов для тетраэдра QOPS. Объем этого тетраэдра можно выразить двумя способами:
1. $V = \frac{1}{3} S_{OPS} \cdot h$, где h — высота, опущенная из вершины Q на основание OPS.
2. $V = \frac{1}{3} S_{QPS} \cdot H$, где H — высота, опущенная из вершины O на основание QPS (то есть высота всей пирамиды O-PQRS).
Приравнивая эти два выражения, получаем: $S_{OPS} \cdot h = S_{QPS} \cdot H$.
Отсюда искомое расстояние $h = \frac{S_{QPS} \cdot H}{S_{OPS}}$.

Найдем величины H, $S_{QPS}$ и $S_{OPS}$.
1. Высота пирамиды H. Пусть K — центр квадрата PQRS. Тогда OK = H. Диагональ квадрата $PR = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Отрезок PK — половина диагонали, $PK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из прямоугольного треугольника OKP по теореме Пифагора:
$H = OK = \sqrt{OP^2 - PK^2} = \sqrt{b^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{b^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$.

2. Площадь треугольника QPS. Так как PQRS — квадрат, то $\angle P = 90^\circ$. Треугольник QPS имеет стороны $PQ=a, PS=a$ и гипотенузу $QS$. Это прямоугольный треугольник, его площадь:
$S_{QPS} = \frac{1}{2} PQ \cdot PS = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

3. Площадь треугольника OPS. Треугольник OPS — равнобедренный с боковыми сторонами $OP = OS = b$ и основанием $PS = a$. Проведем в нем высоту OM к основанию PS. Точка M — середина PS, $PM = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника OMP:
$OM = \sqrt{OP^2 - PM^2} = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.
Площадь треугольника OPS:
$S_{OPS} = \frac{1}{2} PS \cdot OM = \frac{1}{2} a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для h:
$h = \frac{S_{QPS} \cdot H}{S_{OPS}} = \frac{\frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}}{\frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}} = \frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{\frac{2b^2 - a^2}{2}} \cdot \frac{4}{a\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
$h = 2a \cdot \frac{\sqrt{2b^2 - a^2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{4b^2 - a^2}} = \sqrt{2}a \cdot \frac{\sqrt{2b^2 - a^2}}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
$h = a \sqrt{\frac{2(2b^2 - a^2)}{4b^2 - a^2}} = a \sqrt{\frac{4b^2 - 2a^2}{4b^2 - a^2}}$.

Ответ: $a \sqrt{\frac{4b^2 - 2a^2}{4b^2 - a^2}}$.