Номер 4, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Что называется проекцией прямой на плоскость?

Проекцией прямой на плоскость называется геометрическое место точек (множество), которое образуется путем проецирования каждой точки данной прямой на эту плоскость. Проецирование, как правило, подразумевается ортогональное (прямоугольное), то есть с использованием перпендикуляров.

Рассмотрим этот процесс подробнее.

1. Проекция точки на плоскость
Основой для понимания является проекция точки. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$. Ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ называется основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту плоскость. Обозначим эту проекцию как $M'$. Если точка $M$ уже лежит в плоскости $\alpha$, то ее проекция совпадает с ней самой ($M' = M$).

2. Построение проекции прямой
Прямая состоит из бесконечного множества точек. Ее проекция на плоскость — это множество проекций всех ее точек. На практике для построения проекции прямой достаточно выполнить следующие шаги:

• Выбрать на исходной прямой $a$ две любые различные точки, например $A$ и $B$.
• Найти ортогональные проекции этих точек на плоскость $\alpha$. Для этого из точек $A$ и $B$ опускают перпендикуляры на плоскость $\alpha$. Их основания, точки $A'$ и $B'$, и будут проекциями.
• Провести через точки $A'$ и $B'$ прямую $a'$. Эта прямая $a'$ и является проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$.

3. Виды проекций в зависимости от расположения прямой
Результат проецирования зависит от взаимного расположения прямой и плоскости:

• Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то ее проекцией будет прямая. Причем исходная прямая и ее проекция пересекаются в той же точке, в которой прямая пересекает плоскость.
• Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией будет прямая, лежащая в этой плоскости и параллельная исходной прямой.
• Если прямая лежит в плоскости, то ее проекция совпадает с ней самой.
• Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекции всех ее точек совпадут в одной точке — точке пересечения прямой с плоскостью. В этом частном случае проекцией прямой является точка.

Таким образом, в общем случае проекцией прямой на плоскость является прямая, а в частном случае — точка.

Ответ: Проекцией прямой на плоскость называется множество оснований перпендикуляров, проведенных из каждой точки этой прямой к данной плоскости. Если прямая не перпендикулярна плоскости, то ее проекцией является прямая. Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекцией является точка (точка пересечения прямой с плоскостью).