Номер 274, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

274*. В шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ все рёбра основания равны $a$, а все боковые рёбра — $2a$ (рис. 264). Найдите расстояние между боковым ребром $SA$ и рёбрами основания:

а) $BF$;

б) $CE$;

в) $BE$;

г) $BD$.

Рис. 264

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании пирамиды, совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Расположим основание в плоскости $Oxy$ так, чтобы вершина $A$ лежала на положительной полуоси $Ox$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому расстояние от центра до вершин равно $a$. Координаты вершин основания:

• $A = (a \cos(0^\circ), a \sin(0^\circ), 0) = (a, 0, 0)$
• $B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
• $E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Так как пирамида правильная, ее вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Таким образом, $S$ имеет координаты $(0, 0, h)$, где $h$ — высота пирамиды. Найдем $h$ из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $OA = a$ (радиус описанной окружности), гипотенуза $SA = 2a$ (длина бокового ребра по условию). По теореме Пифагора: $h^2 = SO^2 = SA^2 - OA^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$. Отсюда $h = a\sqrt{3}$. Координаты вершины $S(0, 0, a\sqrt{3})$.

Расстояние $\rho$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле: $\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $SA$ в качестве точки $M_1$ возьмем $A(a, 0, 0)$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s_1}$ — вектор $\vec{SA}$: $\vec{s_1} = \vec{SA} = S - A = (0-a, 0-0, a\sqrt{3}-0) = (-a, 0, a\sqrt{3})$.

Найдем расстояние между ребром $SA$ и ребром $BF$. Прямая $BF$ проходит через точку $M_2 = B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BF}$: $\vec{s_2} = \vec{BF} = F - B = (\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -a\sqrt{3}, 0)$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB}$: $\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$: $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & a\sqrt{3} \\ 0 & -a\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - a\sqrt{3}(-a\sqrt{3})) - \vec{j}(-a \cdot 0 - a\sqrt{3} \cdot 0) + \vec{k}(-a(-a\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (3a^2, 0, a^2\sqrt{3})$. Модуль этого вектора: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(3a^2)^2 + 0^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^4 + 3a^4} = \sqrt{12a^4} = 2a^2\sqrt{3}$. Вычислим смешанное произведение: $\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{a}{2})(3a^2) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(0) + (0)(a^2\sqrt{3}) = -\frac{3a^3}{2}$. Теперь найдем расстояние: $\rho(SA, BF) = \frac{|-\frac{3a^3}{2}|}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3a^3}{2 \cdot 2a^2\sqrt{3}} = \frac{3a}{4\sqrt{3}} = \frac{3a\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Найдем расстояние между ребром $SA$ и ребром $CE$. Прямая $CE$ проходит через точку $M_2 = C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{CE}$: $\vec{s_2} = \vec{CE} = E - C = (-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}), -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -a\sqrt{3}, 0)$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AC}$: $\vec{AC} = C - A = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$ и его модуль такие же, как в пункте а), так как $\vec{CE}$ и $\vec{BF}$ коллинеарны. $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = 2a^2\sqrt{3}$. Вычислим смешанное произведение: $\vec{AC} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{3a}{2})(3a^2) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(0) + (0)(a^2\sqrt{3}) = -\frac{9a^3}{2}$. Теперь найдем расстояние: $\rho(SA, CE) = \frac{|-\frac{9a^3}{2}|}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{9a^3}{2 \cdot 2a^2\sqrt{3}} = \frac{9a}{4\sqrt{3}} = \frac{9a\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{3a\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{3}}{4}$

Найдем расстояние между ребром $SA$ и ребром $BE$. Прямая $BE$ проходит через точку $M_2 = B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BE}$: $\vec{s_2} = \vec{BE} = E - B = (-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-a, -a\sqrt{3}, 0)$. Вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$: $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & a\sqrt{3} \\ -a & -a\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(3a^2) - \vec{j}(a^2\sqrt{3}) + \vec{k}(a^2\sqrt{3}) = (3a^2, -a^2\sqrt{3}, a^2\sqrt{3})$. Модуль этого вектора: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(3a^2)^2 + (-a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^4 + 3a^4 + 3a^4} = \sqrt{15a^4} = a^2\sqrt{15}$. Вычислим смешанное произведение: $\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{a}{2})(3a^2) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(-a^2\sqrt{3}) + 0 = -\frac{3a^3}{2} - \frac{3a^3}{2} = -3a^3$. Теперь найдем расстояние: $\rho(SA, BE) = \frac{|-3a^3|}{a^2\sqrt{15}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{3a\sqrt{15}}{15} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Найдем расстояние между ребром $SA$ и ребром $BD$. Прямая $BD$ проходит через точку $M_2 = B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BD}$: $\vec{s_2} = \vec{BD} = D - B = (-a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$: $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & a\sqrt{3} \\ -3a/2 & -a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{3a^2}{2}) - \vec{j}(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}) + \vec{k}(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3a^2}{2}, -\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$. Модуль этого вектора: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(\frac{3a^2}{2})^2 + (-\frac{3a^2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9a^4}{4} + \frac{27a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{\frac{39a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{39}}{2}$. Вычислим смешанное произведение: $\vec{AB} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{a}{2})(\frac{3a^2}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}) + 0 = -\frac{3a^3}{4} - \frac{9a^3}{4} = -\frac{12a^3}{4} = -3a^3$. Теперь найдем расстояние: $\rho(SA, BD) = \frac{|-3a^3|}{\frac{a^2\sqrt{39}}{2}} = \frac{3a^3 \cdot 2}{a^2\sqrt{39}} = \frac{6a}{\sqrt{39}} = \frac{6a\sqrt{39}}{39} = \frac{2a\sqrt{39}}{13}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{39}}{13}$