Номер 273, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

273*. Точка $M$ — середина ребра $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите расстояние между прямыми $A_1M$ и $B_1C$, учитывая, что ребро куба равно $a$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Ребро куба равно $a$.

В этой системе координат вершины куба и точка $M$ имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $M$ — середина $AB$, следовательно, $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$.

Мы ищем расстояние между скрещивающимися прямыми $A_1M$ и $B_1C$. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Рассмотрим прямую $B_1C$. Найдем ее направляющий вектор $\vec{s_1}$:

$\vec{s_1} = \vec{B_1C} = C - B_1 = (a-a, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$.

Рассмотрим прямую $A_1M$. Найдем ее направляющий вектор $\vec{s_2}$:

$\vec{s_2} = \vec{A_1M} = M - A_1 = (\frac{a}{2}-0, 0-0, 0-a) = (\frac{a}{2}, 0, -a)$.

Построим плоскость $\Pi$, которая проходит через прямую $A_1M$ и параллельна прямой $B_1C$. Эта плоскость будет содержать точку $A_1(0, 0, a)$ и иметь два направляющих вектора: $\vec{s_2} = (\frac{a}{2}, 0, -a)$ и вектор, параллельный $\vec{s_1}$, то есть сам вектор $\vec{s_1} = (0, a, -a)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ как векторное произведение ее направляющих векторов:

$\vec{n} = \vec{s_2} \times \vec{s_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & 0 & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-a) - (-a) \cdot a) - \mathbf{j}(\frac{a}{2} \cdot (-a) - (-a) \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{a}{2} \cdot a - 0 \cdot 0) = a^2\mathbf{i} + \frac{a^2}{2}\mathbf{j} + \frac{a^2}{2}\mathbf{k}$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (a^2, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2})$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, умножив на $\frac{2}{a^2}$: $\vec{n'} = (2, 1, 1)$.

Уравнение плоскости $\Pi$ имеет вид $2x + y + z + D = 0$. Так как плоскость проходит через точку $A_1(0, 0, a)$, подставим ее координаты в уравнение:

$2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot a + D = 0 \Rightarrow D = -a$.

Итак, уравнение плоскости $\Pi$: $2x + y + z - a = 0$.

Теперь искомое расстояние — это расстояние от любой точки прямой $B_1C$ (например, точки $C(a, a, 0)$) до плоскости $\Pi$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем координаты точки $C(a, a, 0)$ и параметры плоскости $2x + y + z - a = 0$:

$\rho = \frac{|2 \cdot a + 1 \cdot a + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|2a + a - a|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|2a|}{\sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho = \frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{2a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.