Номер 272, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

272*. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Найдите расстояние между диагональю параллелепипеда и диагоналями его граней, которые эта диагональ не пересекает.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим одну из вершин прямоугольного параллелепипеда в начало координат, а его ребра с длинами $a, b, c$ расположим вдоль осей $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Обозначим вершины параллелепипеда как $ABCDA'B'C'D'$. Координаты вершин будут следующими:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, b, 0)$, $C(a, b, 0)$,$A'(0, 0, c)$, $B'(a, 0, c)$, $D'(0, b, c)$, $C'(a, b, c)$.

В качестве диагонали параллелепипеда выберем диагональ $AC'$. Прямая, содержащая эту диагональ, проходит через точку $A(0, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{d} = \vec{AC'} = (a, b, c)$.

Диагонали граней, которые не пересекают диагональ $AC'$, являются скрещивающимися с ней. Таких диагоналей шесть: $BD, B'D', A'B, D'C, A'D, B'C$. Эти диагонали образуют три группы в зависимости от того, к какой паре параллельных граней они принадлежат. Расстояние от диагонали $AC'$ до всех диагоналей в одной группе будет одинаковым. Следовательно, существует три возможных значения для искомого расстояния.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:$L = \frac{|(\vec{M_2} - \vec{M_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$Числитель этой дроби — модуль смешанного произведения векторов, а знаменатель — модуль их векторного произведения.

Расстояние до диагоналей граней с ребрами $a$ и $b$

Этими диагоналями являются $BD$ (в грани $ABCD$) и $B'D'$ (в грани $A'B'C'D'$). Найдем расстояние $L_1$ между скрещивающимися прямыми $AC'$ и $BD$.

Для прямой $AC'$: точка $A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{d} = (a, b, c)$. Для прямой $BD$: точка $B(a,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BD} = D - B = (-a, b, 0)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{AB} = B - A = (a, 0, 0)$.

Векторное произведение:$\vec{d} \times \vec{v_1} = (a, b, c) \times (-a, b, 0) = (b \cdot 0 - c \cdot b, c \cdot (-a) - a \cdot 0, a \cdot b - b \cdot (-a)) = (-bc, -ac, 2ab)$.

Модуль векторного произведения:$|\vec{d} \times \vec{v_1}| = \sqrt{(-bc)^2 + (-ac)^2 + (2ab)^2} = \sqrt{b^2c^2 + a^2c^2 + 4a^2b^2}$.

Смешанное произведение:$(\vec{AB}) \cdot (\vec{d} \times \vec{v_1}) = (a, 0, 0) \cdot (-bc, -ac, 2ab) = a(-bc) = -abc$.

Искомое расстояние:$L_1 = \frac{|-abc|}{\sqrt{b^2c^2 + a^2c^2 + 4a^2b^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2c^2 + b^2c^2 + 4a^2b^2}}$.

Ответ: $\frac{abc}{\sqrt{a^2c^2 + b^2c^2 + 4a^2b^2}}$

Расстояние до диагоналей граней с ребрами $a$ и $c$

Этими диагоналями являются $A'B$ (в грани $ABB'A'$) и $D'C$ (в грани $DCC'D'$). Найдем расстояние $L_2$ между скрещивающимися прямыми $AC'$ и $A'B$.

Для прямой $AC'$: точка $A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{d} = (a, b, c)$. Для прямой $A'B$: точка $A'(0,0,c)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{A'B} = B - A' = (a, 0, -c)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{AA'} = A' - A = (0, 0, c)$.

Векторное произведение:$\vec{d} \times \vec{v_2} = (a, b, c) \times (a, 0, -c) = (b(-c) - c \cdot 0, c \cdot a - a(-c), a \cdot 0 - b \cdot a) = (-bc, 2ac, -ab)$.

Модуль векторного произведения:$|\vec{d} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-bc)^2 + (2ac)^2 + (-ab)^2} = \sqrt{b^2c^2 + 4a^2c^2 + a^2b^2}$.

Смешанное произведение:$(\vec{AA'}) \cdot (\vec{d} \times \vec{v_2}) = (0, 0, c) \cdot (-bc, 2ac, -ab) = c(-ab) = -abc$.

Искомое расстояние:$L_2 = \frac{|-abc|}{\sqrt{b^2c^2 + 4a^2c^2 + a^2b^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + 4a^2c^2}}$.

Ответ: $\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + 4a^2c^2}}$

Расстояние до диагоналей граней с ребрами $b$ и $c$

Этими диагоналями являются $A'D$ (в грани $ADD'A'$) и $B'C$ (в грани $BCC'B'$). Найдем расстояние $L_3$ между скрещивающимися прямыми $AC'$ и $A'D$.

Для прямой $AC'$: точка $A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{d} = (a, b, c)$. Для прямой $A'D$: точка $A'(0,0,c)$, направляющий вектор $\vec{v_3} = \vec{A'D} = D - A' = (0, b, -c)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{AA'} = (0, 0, c)$.

Векторное произведение:$\vec{d} \times \vec{v_3} = (a, b, c) \times (0, b, -c) = (b(-c) - c \cdot b, c \cdot 0 - a(-c), a \cdot b - b \cdot 0) = (-2bc, ac, ab)$.

Модуль векторного произведения:$|\vec{d} \times \vec{v_3}| = \sqrt{(-2bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2} = \sqrt{4b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}$.

Смешанное произведение:$(\vec{AA'}) \cdot (\vec{d} \times \vec{v_3}) = (0, 0, c) \cdot (-2bc, ac, ab) = c(ab) = abc$.

Искомое расстояние:$L_3 = \frac{|abc|}{\sqrt{4b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + 4b^2c^2}}$.

Ответ: $\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + 4b^2c^2}}$