Номер 1, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

1. Теорема о трёх перпендикулярах — это фундаментальная теорема стереометрии, которая устанавливает связь между перпендикулярностью наклонной к плоскости и перпендикулярностью её проекции на эту плоскость к некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Теорема состоит из двух частей: прямой и обратной теоремы.

Прямая теорема
Формулировка: Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Рассмотрим это на примере. Пусть к плоскости $\alpha$ из точки $A$ (не лежащей в плоскости) проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$. Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Через основание наклонной (точку $M$) в плоскости $\alpha$ проведена прямая $a$.
Прямая теорема утверждает: если прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$ (т.е. $a \perp HM$), то она также перпендикулярна и самой наклонной $AM$ (т.е. $a \perp AM$).
Символически: если $AH \perp \alpha$ и $a \subset \alpha$, то из $HM \perp a \implies AM \perp a$.

Обратная теорема
Формулировка: Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Используя те же обозначения, что и выше, обратная теорема утверждает: если прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AM$ (т.е. $a \perp AM$), то она также перпендикулярна и её проекции $HM$ (т.е. $a \perp HM$).
Символически: если $AH \perp \alpha$ и $a \subset \alpha$, то из $AM \perp a \implies HM \perp a$.

Название теоремы происходит оттого, что в ней фигурируют три перпендикуляра:

1. Перпендикуляр к плоскости: $AH \perp \alpha$.
2. Перпендикулярность проекции к прямой в плоскости: $HM \perp a$.
3. Перпендикулярность наклонной к той же прямой в плоскости: $AM \perp a$.

Теорема устанавливает, что при наличии первого условия, второе и третье являются эквивалентными.

Ответ: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна этой наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.