Номер 5, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Что называется углом между прямой и плоскостью?

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Величина этого угла $\phi$ всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно, то есть $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней

Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$) или если прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то угол между ними по определению равен $0^\circ$.

Если прямая перпендикулярна плоскости

Если прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$), то угол между ними по определению равен $90^\circ$. В этом случае проекцией прямой на плоскость является точка их пересечения.

Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей

Это наиболее общий случай, который и определяет основное понятие. Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Угол между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$ находится следующим образом:

• На прямой $a$ выбирается произвольная точка $A$, не совпадающая с точкой пересечения $M$.
• Из точки $A$ на плоскость $\alpha$ опускается перпендикуляр $AH$. Точка $H$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$.
• Прямая, проходящая через точки $M$ и $H$, является ортогональной проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$.
• Искомый угол — это острый угол $\angle AMH$, образованный прямой $a$ (наклонной) и её проекцией $MH$.

Стоит отметить, что этот угол является наименьшим из всех углов, которые данная прямая $a$ образует с любыми прямыми, лежащими в плоскости $\alpha$ и проходящими через точку пересечения $M$.

Ответ: Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), этот угол равен $0^\circ$. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$.