Номер 8, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Точка X принадлежит прямой, проходящей через центр O правильного треугольника ABC перпендикулярно его плоскости. Верно ли, что:

а) расстояния от точки X до вершин треугольника равны;

б) расстояния от точки X до сторон треугольника равны;

в) $ \angle AXO = \angle BXO = \angle CXO; $

г) $ \angle XAO = \angle XBO = \angle XCO? $

По условию, треугольник $ABC$ — правильный, а точка $O$ — его центр. В правильном треугольнике центр является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а также центром вписанной и описанной окружностей. Прямая, содержащая точку $X$, проходит через центр $O$ и перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $XO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через точку $O$. В частности, $XO \perp OA$, $XO \perp OB$ и $XO \perp OC$.

а) Рассмотрим утверждение, что расстояния от точки $X$ до вершин треугольника равны.
Для этого сравним треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$.
1. Эти треугольники являются прямоугольными, так как отрезок $XO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, а отрезки $OA, OB, OC$ лежат в этой плоскости. Следовательно, $\angle XOA = \angle XOB = \angle XOC = 90^\circ$.
2. Сторона $XO$ является общим катетом для всех трех треугольников.
3. Поскольку $O$ — центр описанной окружности правильного треугольника $ABC$, расстояния от центра до вершин равны радиусу этой окружности: $OA = OB = OC$.
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ равны по двум катетам ($XO$ — общий, $OA=OB=OC$). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $XA = XB = XC$.
Ответ: Верно.

б) Рассмотрим утверждение, что расстояния от точки $X$ до сторон треугольника равны.
Расстояние от точки до стороны — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на сторону. Пусть $K, L, M$ — основания перпендикуляров, опущенных из центра $O$ на стороны $AB, BC, CA$ соответственно.
1. Так как $O$ — центр вписанной окружности правильного треугольника, расстояния от точки $O$ до его сторон равны радиусу вписанной окружности: $OK = OL = OM$.
2. По теореме о трех перпендикулярах: так как $XO \perp (ABC)$ (по условию), а проекция $OK$ наклонной $XK$ перпендикулярна прямой $AB$ ($OK \perp AB$), то и сама наклонная $XK$ перпендикулярна $AB$. Следовательно, длина отрезка $XK$ и есть расстояние от точки $X$ до стороны $AB$. Аналогично, $XL$ и $XM$ — расстояния от точки $X$ до сторон $BC$ и $CA$.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle XOK$, $\triangle XOL$ и $\triangle XOM$ (углы при вершине $O$ прямые, так как $XO \perp$ плоскости $(ABC)$). У них катет $XO$ — общий, а катеты $OK, OL, OM$ равны.
Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $XK = XL = XM$.
Ответ: Верно.

в) Рассмотрим утверждение, что $\angle AXO = \angle BXO = \angle CXO$.
Как было установлено в пункте а), треугольники $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ равны. В равных треугольниках соответственные углы равны. Углы $\angle AXO$, $\angle BXO$ и $\angle CXO$ лежат напротив соответственно равных сторон $OA$, $OB$ и $OC$. Следовательно, эти углы равны.
Ответ: Верно.

г) Рассмотрим утверждение, что $\angle XAO = \angle XBO = \angle XCO$.
Снова обратимся к равным треугольникам $\triangle XOA$, $\triangle XOB$ и $\triangle XOC$ из пункта а). Углы $\angle XAO$, $\angle XBO$ и $\angle XCO$ являются соответственными углами в этих треугольниках (они лежат напротив общей стороны $XO$). Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны.
Ответ: Верно.