Номер 278, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

278*. Точка $M$ лежит на прямой, проходящей через вершину $B$ ромба $ABCD$ и перпендикулярной его плоскости. Найдите расстояния от точки $M$ до прямых, содержащих стороны ромба, учитывая, что $AB = 25$ см, $\angle BAD = 60^\circ$, $BM = 12,5$ см.

По условию задачи, точка $M$ лежит на прямой, проходящей через вершину $B$ ромба $ABCD$ и перпендикулярной его плоскости. Это означает, что отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости ромба $(ABC)$. Длина этого перпендикуляра $MB = 12,5$ см. Для нахождения расстояний от точки $M$ до прямых, содержащих стороны ромба, будем использовать теорему о трех перпендикулярах. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.

Расстояние от точки M до прямой AB

Прямая $AB$ лежит в плоскости ромба $(ABC)$. Так как отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, $MB \perp AB$. Следовательно, длина отрезка $MB$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

Расстояние $\rho(M, AB) = BM = 12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.

Расстояние от точки M до прямой BC

Аналогично прямой $AB$, прямая $BC$ лежит в плоскости ромба $(ABC)$ и проходит через точку $B$. Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp BC$. Следовательно, длина отрезка $MB$ является расстоянием от точки $M$ до прямой $BC$.

Расстояние $\rho(M, BC) = BM = 12,5$ см.

Ответ: 12,5 см.

Расстояние от точки M до прямой AD

Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямой $AD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Пусть $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ к прямой $AD$ ($H \in AD$). Тогда $MH$ — это искомое расстояние. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $MH$ — наклонная. По теореме о трех перпендикулярах, проекция наклонной $MH$ на плоскость $(ABC)$, то есть отрезок $BH$, будет перпендикулярен прямой $AD$.

Длина $BH$ — это расстояние от вершины $B$ до стороны $AD$, то есть высота ромба. Найдем ее. В ромбе $ABCD$ сторона $AB = 25$ см и угол $\angle BAD = 60^\circ$. Высота ромба $BH$, опущенная на сторону $AD$, находится из прямоугольного треугольника $ABH'$ (где $H'$ - основание высоты из В на AD) как $AB \cdot \sin(\angle BAD)$.

$BH = AB \cdot \sin(60^\circ) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (угол $\angle MBH = 90^\circ$, так как $MB$ перпендикулярен плоскости). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$:

$MH^2 = MB^2 + BH^2$

$MH^2 = (12,5)^2 + \left(\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{2}\right)^2 + \frac{25^2 \cdot 3}{4} = \frac{625}{4} + \frac{1875}{4} = \frac{2500}{4} = 625$

$MH = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

Расстояние от точки M до прямой CD

Для нахождения расстояния до прямой $CD$ поступим аналогично. Пусть $MK$ — перпендикуляр из точки $M$ к прямой $CD$ ($K \in CD$). Тогда $BK$ — это проекция наклонной $MK$ на плоскость ромба, и по теореме о трех перпендикулярах $BK \perp CD$. Длина $BK$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $CD$.

В ромбе $ABCD$ с $\angle BAD = 60^\circ$ противоположный угол $\angle BCD$ также равен $60^\circ$. Треугольник $BCD$ является равносторонним, так как $BC=CD=25$ см и угол между ними $60^\circ$. Отрезок $BK$ является высотой равностороннего треугольника $BCD$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$BK = \frac{BC \sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBK$ ($\angle MBK = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$MK^2 = MB^2 + BK^2$

$MK^2 = (12,5)^2 + \left(\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 625$

$MK = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.