Номер 282, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

282. В равнобедренном треугольнике $XYZ$ с основанием $XY$ боковая сторона равна 20, а угол при основании составляет $30^\circ$. Из его вершины $Y$ к плоскости $XYZ$ возведён перпендикуляр $QY$. Учитывая, что $QY = 10$, найдите расстояния:

а) от точки $Q$ до прямой $XZ$;

б) от точки $Y$ до плоскости $XQZ$.

Введем обозначения согласно условию задачи. Дан равнобедренный треугольник $XYZ$ с основанием $XY$. Это означает, что боковые стороны равны: $XZ = YZ = 20$. Углы при основании равны: $\angle YXZ = \angle XYZ = 30°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому угол при вершине $Z$ равен: $\angle XZY = 180° - (\angle YXZ + \angle XYZ) = 180° - (30° + 30°) = 120°$. Из вершины $Y$ к плоскости треугольника $XYZ$ возведен перпендикуляр $QY$, то есть $QY \perp (XYZ)$. Длина этого перпендикуляра $QY = 10$.

а) от точки Q до прямой XZ;

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомое расстояние как $d(Q, XZ)$. Построим в плоскости треугольника $XYZ$ высоту $YH$ из вершины $Y$ на сторону $XZ$. Таким образом, $YH \perp XZ$. $YH$ является проекцией наклонной $QH$ на плоскость $XYZ$. Так как $QY \perp (XYZ)$, то $QY$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $QY \perp YH$. Следовательно, треугольник $QYH$ — прямоугольный. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($YH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($XZ$), то и сама наклонная ($QH$) перпендикулярна этой прямой ($XZ$). Значит, $QH \perp XZ$. Длина отрезка $QH$ и есть искомое расстояние от точки $Q$ до прямой $XZ$.

Найдем длину высоты $YH$ в треугольнике $XYZ$. Площадь треугольника $XYZ$ можно вычислить по формуле: $S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot XZ \cdot YZ \cdot \sin(\angle XZY) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(120°) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$. С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $XZ$ и высоту $YH$: $S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot XZ \cdot YH = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot YH = 10 \cdot YH$. Приравняв два выражения для площади, получим: $10 \cdot YH = 100\sqrt{3}$ $YH = 10\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $QYH$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $QH$: $QH^2 = QY^2 + YH^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 100 \cdot 3 = 100 + 300 = 400$. $QH = \sqrt{400} = 20$.

Ответ: $20$.

б) от точки Y до плоскости XQZ.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $d(Y, (XQZ))$. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $Q, Y, H$. Так как $YH \perp XZ$ и $QH \perp XZ$, то прямая $XZ$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $QYH$. Следовательно, прямая $XZ$ перпендикулярна всей плоскости $QYH$: $XZ \perp (QYH)$. Опустим из точки $Y$ перпендикуляр $YK$ на прямую $QH$ в плоскости $QYH$. Таким образом, $YK \perp QH$. Поскольку $YK$ лежит в плоскости $QYH$, а $XZ \perp (QYH)$, то $YK \perp XZ$. Получается, что отрезок $YK$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($QH$ и $XZ$) в плоскости $XQZ$. Следовательно, $YK$ является перпендикуляром к плоскости $XQZ$, и его длина — это искомое расстояние.

Длину $YK$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $QYH$. $YK$ — это высота, проведенная к гипотенузе $QH$. В прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $QY \cdot YH = QH \cdot YK$. Мы знаем длины всех сторон треугольника $QYH$ из пункта а): $QY = 10$ (катет) $YH = 10\sqrt{3}$ (катет) $QH = 20$ (гипотенуза)

Подставляем значения в формулу: $10 \cdot 10\sqrt{3} = 20 \cdot YK$ $100\sqrt{3} = 20 \cdot YK$ $YK = \frac{100\sqrt{3}}{20} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$.