Номер 286, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

286. Точка A, лежащая вне плоскости прямого угла UVW, отстоит от его вершины V на $x$, а от каждой из сторон — на $y$ (рис. 285). Найдите расстояние $AO$ от точки A до плоскости прямого угла.

Рис. 285

Пусть $AO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость прямого угла $UVW$. Длина этого перпендикуляра $AO$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости. По условию задачи, расстояние от точки $A$ до вершины угла $V$ равно $x$, то есть $AV = x$.

Так как $AO$ перпендикулярен плоскости $UVW$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $AO \perp OV$. Следовательно, треугольник $AOV$ является прямоугольным с гипотенузой $AV$. По теореме Пифагора для $\triangle AOV$ имеем:

$AV^2 = AO^2 + OV^2$

Подставив известное значение, получаем:

$x^2 = AO^2 + OV^2$

По условию, расстояние от точки $A$ до каждой из сторон угла равно $y$. Пусть $P$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $VU$, а $Q$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $VW$. Тогда $AP = y$ и $AP \perp VU$, а также $AQ = y$ и $AQ \perp VW$.

$AO$ — перпендикуляр к плоскости $UVW$, $AP$ и $AQ$ — наклонные к этой плоскости. Отрезки $OP$ и $OQ$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $UVW$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и ее проекция перпендикулярна той же прямой. Таким образом:

Поскольку $AP \perp VU$, то и ее проекция $OP \perp VU$.

Поскольку $AQ \perp VW$, то и ее проекция $OQ \perp VW$.

Рассмотрим четырехугольник $VPOQ$, лежащий в плоскости $UVW$. Угол $\angle UVW$ прямой, значит $\angle PVQ = 90^\circ$. Также мы установили, что $\angle OPV = 90^\circ$ и $\angle OQV = 90^\circ$. Следовательно, четырехугольник $VPOQ$ является прямоугольником.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $AOP$ и $AOQ$ (углы при вершине $O$ прямые, так как $AO$ перпендикулярен плоскости). По теореме Пифагора:

В $\triangle AOP$: $AP^2 = AO^2 + OP^2 \implies y^2 = AO^2 + OP^2$

В $\triangle AOQ$: $AQ^2 = AO^2 + OQ^2 \implies y^2 = AO^2 + OQ^2$

Из этих двух равенств следует, что $OP^2 = OQ^2$, а так как длины отрезков положительны, то $OP = OQ$. Прямоугольник $VPOQ$ с равными смежными сторонами является квадратом.

Диагональ этого квадрата $OV$ связана с его стороной $OP$ соотношением $OV^2 = OP^2 + PV^2 = OP^2 + OP^2 = 2OP^2$.

Теперь у нас есть система уравнений:

1) $x^2 = AO^2 + OV^2$

2) $y^2 = AO^2 + OP^2$

3) $OV^2 = 2OP^2$

Из второго уравнения выразим $OP^2$: $OP^2 = y^2 - AO^2$.

Подставим это выражение в третье уравнение: $OV^2 = 2(y^2 - AO^2)$.

Наконец, подставим полученное выражение для $OV^2$ в первое уравнение:

$x^2 = AO^2 + 2(y^2 - AO^2)$

$x^2 = AO^2 + 2y^2 - 2AO^2$

$x^2 = 2y^2 - AO^2$

Отсюда выражаем искомое расстояние $AO$:

$AO^2 = 2y^2 - x^2$

$AO = \sqrt{2y^2 - x^2}$

Ответ: $AO = \sqrt{2y^2 - x^2}$