Номер 289, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

289. Имеется куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $BB_1$;

б) $AB_1$ и $CD_1$;

в) $A_1D$ и $C_1A$.

Для решения задачи будем использовать как геометрические методы (свойства куба, параллельный перенос), так и координатно-векторный метод. Для второго метода введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(a,0,0)$
• $C(a,a,0)$
• $D(0,a,0)$
• $A_1(0,0,a)$
• $B_1(a,0,a)$
• $C_1(a,a,a)$
• $D_1(0,a,a)$

Для простоты вычислений в координатном методе можно принять $a=1$. Угол между прямыми не зависит от размера куба.

а) AC и BB₁

Геометрический метод:

Прямая $AC$ является диагональю нижнего основания куба и целиком лежит в плоскости этого основания $(ABC)$. Прямая $BB_1$ является боковым ребром куба, которое перпендикулярно плоскости основания по определению куба. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $BB_1 \perp (ABC)$ и прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то прямые $BB_1$ и $AC$ перпендикулярны.

Координатно-векторный метод:

Найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BB_1$.

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$.

Вектор $\vec{BB_1}$ имеет координаты $(a-a, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{BB_1} = a \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.

Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны, а значит, и прямые $AC$ и $BB_1$ перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

б) AB₁ и CD₁

Геометрический метод:

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Угол между ними можно найти, перенеся одну из прямых параллельно до пересечения с другой. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$ и параллельную ей грань $ABB_1A_1$. Вектор $\vec{CD_1}$ равен вектору $\vec{BA_1}$ (это можно проверить по координатам или заметить, что четырехугольник $BA_1D_1C$ — параллелограмм). Следовательно, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.

Тогда искомый угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BA_1$. Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$, которая представляет собой квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Координатно-векторный метод:

Найдем направляющие векторы для прямых $AB_1$ и $CD_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты $(a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.

Вектор $\vec{CD_1}$ имеет координаты $(0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, значит, прямые перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

в) A₁D и C₁A

Координатно-векторный метод:

Этот метод наиболее прост для данной пары прямых. Найдем их направляющие векторы.

Вектор $\vec{A_1D}$ имеет координаты $(0-0, a-0, 0-a) = (0, a, -a)$.

Вектор $\vec{C_1A}$ имеет координаты $(0-a, 0-a, 0-a) = (-a, -a, -a)$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{A_1D} \cdot \vec{C_1A} = 0 \cdot (-a) + a \cdot (-a) + (-a) \cdot (-a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $A_1D$ и $C_1A$ перпендикулярны.

Геометрический метод:

Докажем, что прямая $A_1D$ перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая $C_1A$. В качестве такой плоскости рассмотрим плоскость $(ABC_1D_1)$.

1. Ребро $AB$ перпендикулярно всей плоскости грани $ADD_1A_1$. Прямая $A_1D$ лежит в этой грани, значит $AB \perp A_1D$.

2. Прямые $A_1D$ и $AD_1$ — это диагонали квадрата $ADD_1A_1$. Следовательно, они перпендикулярны: $A_1D \perp AD_1$.

Прямые $AB$ и $AD_1$ пересекаются в точке $A$ и задают плоскость $(ABC_1D_1)$. Поскольку прямая $A_1D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, она перпендикулярна и самой плоскости $(ABC_1D_1)$.

Прямая $C_1A$ лежит в плоскости $(ABC_1D_1)$, так как обе точки, $A$ и $C_1$, принадлежат этой плоскости. (Точка $A$ принадлежит ей по построению. Для точки $C_1$ верно векторное равенство $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD_1}$, что доказывает компланарность векторов и принадлежность точки $C_1$ плоскости $(ABD_1)$.)

Поскольку прямая $C_1A$ лежит в плоскости, которой перпендикулярна прямая $A_1D$, то эти прямые перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.