Номер 296, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

296. Из точки, отстоящей от плоскости на $d$, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы $\alpha$ и $\beta$, а угол между их проекциями равен $\varphi$. Найдите расстояние между их концами, учитывая, что:

а) $\alpha = 45^{\circ}$, $\beta = 30^{\circ}$, $\varphi = 150^{\circ}$;

б) $\alpha = 45^{\circ}$, $\beta = 30^{\circ}$, $\varphi = 90^{\circ}$.

Пусть $M$ — точка, из которой проведены наклонные, а $\pi$ — данная плоскость. Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $\pi$. Тогда отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости, и его длина равна $d$, то есть $MO = d$.

Пусть $MA$ и $MB$ — две наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\pi$. Тогда $A$ и $B$ — основания наклонных. Отрезки $OA$ и $OB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\pi$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией. Следовательно, $\angle MAO = \alpha$ и $\angle MBO = \beta$. Угол между проекциями — это $\angle AOB = \phi$. Требуется найти расстояние между концами наклонных, то есть длину отрезка $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$). Из определения котангенса: $ \cot(\alpha) = \frac{OA}{MO} $ Отсюда находим длину проекции $OA$: $ OA = MO \cdot \cot(\alpha) = d \cot(\alpha) $

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle MOB$ (угол $\angle MOB = 90^\circ$): $ \cot(\beta) = \frac{OB}{MO} $ Отсюда находим длину проекции $OB$: $ OB = MO \cdot \cot(\beta) = d \cot(\beta) $

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, лежащий в плоскости $\pi$. Мы знаем длины двух его сторон $OA$ и $OB$ и угол между ними $\phi$. Для нахождения длины третьей стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов: $ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\phi) $

Подставим выражения для $OA$ и $OB$: $ AB^2 = (d \cot(\alpha))^2 + (d \cot(\beta))^2 - 2 (d \cot(\alpha)) (d \cot(\beta)) \cos(\phi) $ $ AB^2 = d^2 (\cot^2(\alpha) + \cot^2(\beta) - 2 \cot(\alpha) \cot(\beta) \cos(\phi)) $ $ AB = d \sqrt{\cot^2(\alpha) + \cot^2(\beta) - 2 \cot(\alpha) \cot(\beta) \cos(\phi)} $

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) $\alpha = 45^\circ, \beta = 30^\circ, \phi = 150^\circ$

Вычислим значения необходимых тригонометрических функций: $ \cot(45^\circ) = 1 $ $ \cot(30^\circ) = \sqrt{3} $ $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим эти значения в формулу для $AB^2$: $ AB^2 = d^2 (1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) $ $ AB^2 = d^2 (1 + 3 + \frac{2 \cdot 3}{2}) $ $ AB^2 = d^2 (4 + 3) = 7d^2 $ $ AB = \sqrt{7d^2} = d\sqrt{7} $

Ответ: $d\sqrt{7}$

б) $\alpha = 45^\circ, \beta = 30^\circ, \phi = 90^\circ$

Вычислим значения необходимых тригонометрических функций: $ \cot(45^\circ) = 1 $ $ \cot(30^\circ) = \sqrt{3} $ $ \cos(90^\circ) = 0 $

Подставим эти значения в формулу для $AB^2$: $ AB^2 = d^2 (1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot 0) $ $ AB^2 = d^2 (1 + 3 - 0) $ $ AB^2 = d^2 (4) = 4d^2 $ $ AB = \sqrt{4d^2} = 2d $

Так как угол между проекциями $\phi = 90^\circ$, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным, и можно было использовать теорему Пифагора: $ OA = d \cot(45^\circ) = d \cdot 1 = d $ $ OB = d \cot(30^\circ) = d\sqrt{3} $ $ AB^2 = OA^2 + OB^2 = d^2 + (d\sqrt{3})^2 = d^2 + 3d^2 = 4d^2 $ $ AB = 2d $ Результат совпадает.

Ответ: $2d$