Номер 290, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

290. Из вершины $B$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 6$ см и $AD = 6\sqrt{2}$ см, к его плоскости возведён перпендикуляр $BQ$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости прямоугольника, учитывая, что угол между прямой $QD$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

По условию задачи, $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 6$ см и $AD = 6\sqrt{2}$ см. Из вершины $B$ к плоскости прямоугольника возведен перпендикуляр $BQ$. Это означает, что отрезок $BQ$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Так как $BQ \perp (ABC)$, то длина отрезка $BQ$ и есть искомое расстояние от точки $Q$ до плоскости прямоугольника.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. В данном случае, прямая — это наклонная $QD$. Поскольку $BQ$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то $BD$ — это проекция наклонной $QD$ на эту плоскость. Следовательно, угол между прямой $QD$ и плоскостью $(ABC)$ — это угол $\angle QDB$. По условию, $\angle QDB = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle QBD$. Так как $BQ$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BD$. Значит, $\angle QBD = 90^\circ$, и треугольник $\triangle QBD$ является прямоугольным.

Чтобы найти катет $BQ$, нам нужно знать длину второго катета $BD$. Отрезок $BD$ является диагональю прямоугольника $ABCD$. Найдем его длину по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ (где $\angle A = 90^\circ$):$BD^2 = AB^2 + AD^2$$BD^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 + 36 \cdot 2 = 36 + 72 = 108$$BD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle QBD$. Мы знаем катет $BD = 6\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle QDB = 30^\circ$. Мы можем найти катет $BQ$ через тангенс этого угла:$\text{tg}(\angle QDB) = \frac{BQ}{BD}$Отсюда:$BQ = BD \cdot \text{tg}(\angle QDB)$Подставим известные значения:$BQ = 6\sqrt{3} \cdot \text{tg}(30^\circ)$Так как $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$BQ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Таким образом, расстояние от точки $Q$ до плоскости прямоугольника равно 6 см.

Ответ: 6 см.