Номер 287, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

287. Вершина пирамиды, в основании которой лежит прямоугольная трапеция с периметром 32, находится на расстоянии $\sqrt{17}$ от рёбер основания. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что её наибольшее и наименьшее боковые рёбра равны $7\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$.

Пусть дана пирамида S-ABCD, в основании которой лежит прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AB и CD и прямыми углами при вершинах A и D. Обозначим стороны трапеции: $a = AB$, $c = CD$, $d = AD$, $b = BC$.

По условию, вершина пирамиды S равноудалена от всех сторон (рёбер) основания. Это означает, что проекция вершины S на плоскость основания, точка O, является центром вписанной в трапецию окружности. Расстояние от вершины S до любой стороны основания — это апофема (высота боковой грани), и оно равно $h_s = \sqrt{17}$.

Если $H$ — высота пирамиды (отрезок SO), а $r$ — радиус вписанной окружности (расстояние от точки O до сторон трапеции), то из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой, следует соотношение:

$H^2 + r^2 = h_s^2$

$H^2 + r^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$

Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольную трапецию ABCD. Периметр трапеции $P = a+b+c+d = 32$. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма её оснований равна сумме боковых сторон: $a+c = b+d$. Тогда периметр можно записать как $P = (a+c) + (b+d) = 2(a+c) = 32$, откуда $a+c = 16$. Также следует, что $b+d=16$. Высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $d = 2r$.

Длины боковых рёбер пирамиды зависят от расстояния от центра вписанной окружности O до вершин трапеции A, B, C, D. Разместим трапецию в системе координат так, чтобы вершина D находилась в начале координат (0,0). Тогда:

• D = (0, 0)
• A = (0, d) = (0, 2r)
• C = (c, 0)
• B = (a, 2r)

Центр вписанной окружности O имеет координаты (r, r).

Найдем квадраты расстояний от точки O до вершин:

• $OD^2 = (r-0)^2 + (r-0)^2 = 2r^2$
• $OA^2 = (r-0)^2 + (r-2r)^2 = r^2 + (-r)^2 = 2r^2$
• $OC^2 = (r-c)^2 + (r-0)^2 = (c-r)^2 + r^2$
• $OB^2 = (r-a)^2 + (r-2r)^2 = (a-r)^2 + r^2$

Длина бокового ребра $L$ вычисляется по формуле $L^2 = H^2 + D^2$, где $D$ — расстояние от O до соответствующей вершины. Наибольшее и наименьшее боковые рёбра соответствуют наибольшему и наименьшему расстоянию от O до вершин.

Из геометрии трапеции (опустив высоту из C на AB) имеем $b^2 = d^2 + (a-c)^2$. Подставив $b = 16-d = 16-2r$, получаем:

$(16-2r)^2 = (2r)^2 + (a-c)^2$

$256 - 64r + 4r^2 = 4r^2 + (a-c)^2$

$(a-c)^2 = 256 - 64r$

Наибольшее и наименьшее рёбра — это SB и SC (так как $a > c$ и можно показать, что $OC < OA < OB$). По условию, их длины $7\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$.

$SC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$

$SB^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$

Запишем уравнения для квадратов длин рёбер:

$SC^2 = H^2 + OC^2 = H^2 + (c-r)^2 + r^2 = 18$

$SB^2 = H^2 + OB^2 = H^2 + (a-r)^2 + r^2 = 98$

Подставим $H^2+r^2=17$ в эти уравнения:

$17 + (c-r)^2 = 18 \Rightarrow (c-r)^2 = 1$. Так как $c$ (меньшее основание) должно быть больше радиуса $r$, то $c-r = 1 \Rightarrow c=r+1$.

$17 + (a-r)^2 = 98 \Rightarrow (a-r)^2 = 81$. Так как $a$ (большее основание) больше $r$, то $a-r = 9 \Rightarrow a=r+9$.

Теперь используем соотношение $a+c=16$:

$(r+9) + (r+1) = 16$

$2r + 10 = 16$

$2r = 6 \Rightarrow r=3$

Теперь мы можем найти все размеры трапеции и высоту пирамиды:

• Радиус вписанной окружности $r=3$.
• Высота трапеции $d=2r=6$.
• Основания трапеции $c=r+1=4$ и $a=r+9=12$.
• Боковая сторона $b=16-d=16-6=10$.
• Проверка периметра: $P = 12+10+4+6=32$.
• Высота пирамиды $H^2 = 17-r^2 = 17-3^2 = 17-9 = 8 \Rightarrow H=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Найдём площадь основания.

$S_{осн} = \frac{a+c}{2} \cdot d = \frac{12+4}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все апофемы равны, вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \sqrt{17} = 16\sqrt{17}$

3. Найдём полную поверхность пирамиды.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48 + 16\sqrt{17}$

Ответ: $48 + 16\sqrt{17}$.