Номер 292, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

292. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость: концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

Пусть данный отрезок будет $AB$, а плоскость — $\alpha$. Длина отрезка $AB = 10$ см. Поскольку отрезок пересекает плоскость, его концы находятся по разные стороны от нее. Пусть $A'$ и $B'$ — это ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Длины этих перпендикуляров являются расстояниями от точек до плоскости. По условию, $AA' = 3$ см и $BB' = 2$ см. Угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между отрезком $AB$ и его проекцией $A'B'$ на эту плоскость. Обозначим этот угол как $\phi$.

Рассмотрим плоскость $\beta$, проходящую через параллельные прямые $AA'$ и $BB'$. В этой плоскости лежит трапеция $AA'B'B$ (так как $AA' \parallel BB'$) с прямыми углами при вершинах $A'$ и $B'$. Для нахождения угла $\phi$ построим прямоугольный треугольник. Проведем из точки $B$ прямую, параллельную $A'B'$, до пересечения с прямой $AA'$ в точке $C$. Поскольку точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, точка $A'$ будет лежать между точками $A$ и $C$. Фигура $A'B'BC$ является прямоугольником, поэтому сторона $BC$ параллельна и равна $A'B'$, а сторона $A'C$ равна $BB'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle ACB = 90^\circ$, так как $AC \perp BC$). Гипотенуза этого треугольника — это данный отрезок $AB$, его длина равна $10$ см. Катет $AC$ состоит из двух отрезков: $AA'$ и $A'C$. Мы знаем, что $AA' = 3$ см. Так как $A'B'BC$ — прямоугольник, то $A'C = BB' = 2$ см. Таким образом, длина катета $AC$ равна сумме этих длин:$AC = AA' + A'C = 3 \text{ см} + 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Угол $\phi$, который нам нужно найти, — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $A'B'$. Поскольку мы построили $BC$ параллельно $A'B'$, то искомый угол $\phi$ равен углу $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ синус угла $\angle ABC$ определяется как отношение противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\phi) = \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:$\sin(\phi) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол между отрезком и плоскостью равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.