Номер 291, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

291. Найдите проекцию на плоскость наклонной длиной $m$, учитывая, что наклонная образует с плоскостью угол, равный:

а) $45^\circ$;

б) $60^\circ$;

в) $30^\circ$.

Для нахождения проекции наклонной на плоскость воспользуемся определением угла между прямой и плоскостью. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость.

Наклонная, её проекция на плоскость и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на эту плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это сама наклонная, её длина равна $m$;
• один из катетов — это проекция наклонной на плоскость (обозначим её длину как $p$);
• угол между наклонной и её проекцией — это заданный угол (обозначим его как $\alpha$).

Проекция $p$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$. Следовательно, её можно найти через косинус этого угла: $p = m \cdot \cos(\alpha)$.

а)

Если угол $\alpha = 45^\circ$, то длина проекции $p$ равна:
$p = m \cdot \cos(45^\circ)$.
Поскольку значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$p = m \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{m\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{m\sqrt{2}}{2}$.

б)

Если угол $\alpha = 60^\circ$, то длина проекции $p$ равна:
$p = m \cdot \cos(60^\circ)$.
Поскольку значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$p = m \cdot \frac{1}{2} = \frac{m}{2}$.
Ответ: $\frac{m}{2}$.

в)

Если угол $\alpha = 30^\circ$, то длина проекции $p$ равна:
$p = m \cdot \cos(30^\circ)$.
Поскольку значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$p = m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{m\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{m\sqrt{3}}{2}$.