Номер 295, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

295. Из точки, отстоящей от плоскости на $d$, проведены две наклонные, которые образуют между собой угол $\phi$, а с плоскостью — углы $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние между их концами, учитывая, что:

a) $\alpha = \beta = 45^{\circ}, \phi = 60^{\circ}$;

б) $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 30^{\circ}, \phi = 90^{\circ}$.

Обозначим точку, отстоящую от плоскости, как A. Пусть π — данная плоскость. Опустим перпендикуляр AO на плоскость π, где O — основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра по условию равна $d$, то есть $AO = d$.

Пусть AB и AC — две наклонные, проведенные из точки A к плоскости π, где B и C — точки пересечения наклонных с плоскостью. Длину отрезка BC нам и нужно найти.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекциями наклонных AB и AC на плоскость π являются отрезки OB и OC соответственно. Следовательно, по условию:

• Угол между наклонной AB и плоскостью π равен α, то есть $∠ABO = α$.
• Угол между наклонной AC и плоскостью π равен β, то есть $∠ACO = β$.

Треугольники ΔAOB и ΔAOC являются прямоугольными, так как AO ⊥ π, а значит AO перпендикулярен любой прямой в этой плоскости (в частности, OB и OC).

Из прямоугольного треугольника ΔAOB находим длину наклонной AB:

$sin α = \frac{AO}{AB} \implies AB = \frac{AO}{sin α} = \frac{d}{sin α}$

Аналогично, из прямоугольного треугольника ΔAOC находим длину наклонной AC:

$sin β = \frac{AO}{AC} \implies AC = \frac{AO}{sin β} = \frac{d}{sin β}$

Угол между наклонными AB и AC по условию равен φ, то есть $∠BAC = φ$. Теперь рассмотрим треугольник ΔABC. Мы знаем длины двух его сторон (AB и AC) и угол между ними (φ). Чтобы найти длину третьей стороны BC, воспользуемся теоремой косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos φ$

Подставим найденные выражения для AB и AC:

$BC^2 = \left(\frac{d}{sin α}\right)^2 + \left(\frac{d}{sin β}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d}{sin α} \cdot \frac{d}{sin β} \cdot cos φ$

$BC^2 = d^2 \left(\frac{1}{sin^2 α} + \frac{1}{sin^2 β} - \frac{2 \cdot cos φ}{sin α \cdot sin β}\right)$

Теперь решим задачу для конкретных значений.

а) $α = β = 45°, φ = 60°$

Подставим значения углов в найденные выражения. Так как $α = β = 45°$, то наклонные AB и AC равны:

$sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB = AC = \frac{d}{sin 45°} = \frac{d}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2d}{\sqrt{2}} = d\sqrt{2}$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ΔABC, зная, что $cos 60° = \frac{1}{2}$:

$BC^2 = (d\sqrt{2})^2 + (d\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (d\sqrt{2}) \cdot (d\sqrt{2}) \cdot cos 60°$

$BC^2 = 2d^2 + 2d^2 - 2 \cdot 2d^2 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 4d^2 - 2d^2 = 2d^2$

$BC = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}$

Замечание: так как $AB = AC$ и угол между ними $∠BAC = 60°$, то треугольник ΔABC является равносторонним, следовательно, $BC = AB = AC = d\sqrt{2}$.

Ответ: $d\sqrt{2}$

б) $α = 45°, β = 30°, φ = 90°$

Найдем длины наклонных AB и AC:

$sin α = sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin β = sin 30° = \frac{1}{2}$

$AB = \frac{d}{sin 45°} = \frac{d}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = d\sqrt{2}$

$AC = \frac{d}{sin 30°} = \frac{d}{\frac{1}{2}} = 2d$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ΔABC. Так как $φ = 90°$, то $cos 90° = 0$, и теорема косинусов превращается в теорему Пифагора для прямоугольного ΔABC:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos 90°$

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = (d\sqrt{2})^2 + (2d)^2$

$BC^2 = 2d^2 + 4d^2 = 6d^2$

$BC = \sqrt{6d^2} = d\sqrt{6}$

Ответ: $d\sqrt{6}$