Номер 302, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

302. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ боковое ребро в $\sqrt{3}$ раз больше ребра основания. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BD_1$.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равна $a$. Согласно условию задачи, боковое ребро в $\sqrt{3}$ раз больше ребра основания, следовательно, высота призмы $h = AA_1 = a\sqrt{3}$.

Нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BD_1$. Для этого воспользуемся методом параллельного переноса. Заменим одну из прямых на параллельную ей, пересекающую вторую прямую.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна и равна стороне $ED$. В векторной форме это можно записать как $\vec{AB} = \vec{ED}$.

Так как призма прямая, все ее боковые ребра параллельны и равны друг другу. Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AB_1}$. Его можно представить как сумму векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Аналогично, вектор $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{AB} = \vec{ED}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{ED_1}$. Это означает, что прямая $AB_1$ параллельна прямой $ED_1$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BD_1$ равен углу между пересекающимися в точке $D_1$ прямыми $ED_1$ и $BD_1$. Найдем этот угол, рассмотрев треугольник $BD_1E$. Обозначим искомый угол как $\alpha = \angle BD_1E$.

Для нахождения угла $\alpha$ найдем длины сторон треугольника $BD_1E$:

1. Сторона BE: Это большая диагональ правильного шестиугольника в основании. Ее длина в два раза больше стороны шестиугольника: $BE = 2a$.

2. Сторона ED₁: Это диагональ боковой грани $EDD_1E_1$, которая является прямоугольником со сторонами $ED = a$ и $DD_1 = h = a\sqrt{3}$. По теореме Пифагора:
$ED_1^2 = ED^2 + DD_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$.
Следовательно, $ED_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$.

3. Сторона BD₁: Это пространственная диагональ призмы. Найдем ее длину через ее проекцию $BD$ на основание и высоту призмы $DD_1$. $BD$ — малая диагональ шестиугольника. Ее длину можно найти из равнобедренного треугольника $BCD$, где $BC=CD=a$ и угол $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
Значит, $BD = a\sqrt{3}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$ с катетами $BD = a\sqrt{3}$ и $DD_1 = h = a\sqrt{3}$. По теореме Пифагора:
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{3})^2 = 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$.
Следовательно, $BD_1 = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$.

Теперь, зная все три стороны треугольника $BD_1E$ ($BE=2a$, $ED_1=2a$, $BD_1=a\sqrt{6}$), применим к нему теорему косинусов, чтобы найти угол $\alpha = \angle BD_1E$:

$BE^2 = ED_1^2 + BD_1^2 - 2 \cdot ED_1 \cdot BD_1 \cdot \cos(\alpha)$
$(2a)^2 = (2a)^2 + (a\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (a\sqrt{6}) \cdot \cos(\alpha)$
$4a^2 = 4a^2 + 6a^2 - 4a^2\sqrt{6} \cos(\alpha)$
$0 = 6a^2 - 4a^2\sqrt{6} \cos(\alpha)$
$4a^2\sqrt{6} \cos(\alpha) = 6a^2$
$\cos(\alpha) = \frac{6a^2}{4a^2\sqrt{6}} = \frac{6}{4\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Искомый угол $\alpha$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.