Номер 308, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

308*. В основании пирамиды $SABCD$ (рис. 288) лежит трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $AD = 0,5 AB$, $BC = 2 AB$, $SA = \sqrt{3} AB$. Все плоские углы при вершине $A$ прямые. Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и середину $M$ ребра $SC$, — прямоугольник, и найдите угол между прямыми $AM$ и $CD$.

Рис. 288

Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AD и середину M ребра SC, — прямоугольник

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Так как по условию все плоские углы при вершине $A$ прямые, мы можем направить оси координат вдоль ребер $AB$, $AD$ и $SA$. Пусть ось $Ox$ направлена вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $AB$, ось $Oz$ — вдоль $SA$.

Зададим условную единицу длины, приняв $AB = b$. Тогда из условия задачи имеем: $AD = 0.5b$ $SA = \sqrt{3}b$

Координаты вершин пирамиды: $A(0, 0, 0)$ $D(0.5b, 0, 0)$ $B(0, b, 0)$ $S(0, 0, \sqrt{3}b)$

Основание пирамиды — трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, следовательно, $AD \parallel BC$. Поскольку ось $Ox$ параллельна $AD$, то и $BC$ должна быть параллельна оси $Ox$. Вектор $\vec{BC}$ будет иметь вид $(k, 0, 0)$. Координаты точки $C$ найдем, прибавив к координатам точки $B$ вектор $\vec{BC}$: $C(0+k, b+0, 0+0) = (k, b, 0)$. Длина $BC$ равна $|k|$.

По условию $BC = 2AB = 2b$. Это означает, что $|k| = 2b$. Пусть $k=2b$, тогда $C(2b, b, 0)$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AD$ и точку $M$ — середину ребра $SC$. Поскольку $AD \parallel BC$, а $BC$ лежит в плоскости $(SBC)$, то прямая $AD$ параллельна плоскости $(SBC)$. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(SBC)$ по прямой, параллельной $AD$. Обозначим эту прямую $l$.

Так как $AD \parallel BC$, то и прямая $l$ параллельна $BC$ ($l \parallel BC$). Точка $M$ лежит на ребре $SC$ и принадлежит плоскости $\alpha$, значит, прямая $l$ проходит через точку $M$. В треугольнике $SBC$ прямая $l$, проходящая через середину стороны $SC$ (точку $M$) параллельно основанию $BC$, является средней линией этого треугольника. Пусть $N$ — точка пересечения прямой $l$ с ребром $SB$. Тогда $N$ — середина ребра $SB$.

Таким образом, сечение пирамиды — это четырехугольник $ADMN$.

Найдем длины его оснований $AD$ и $MN$. $AD = 0.5b$ (по условию). $MN$ как средняя линия треугольника $SBC$ равна половине основания $BC$: $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(2b) = b$.

Так как $AD \neq MN$ ($0.5b \neq b$), четырехугольник $ADMN$ является трапецией, а не параллелограммом и, следовательно, не может быть прямоугольником. В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка.

Наиболее вероятная опечатка в условии — это длина стороны $BC$. Если предположить, что $BC=AB=b$ (а не $2AB$), то задача решается корректно.

Решение при условии, что $BC = AB = b$:

1. Построение сечения остается тем же: это четырехугольник $ADMN$, где $N$ — середина $SB$, $M$ — середина $SC$.

2. Докажем, что $ADMN$ — параллелограмм. Мы знаем, что $AD \parallel MN$. Найдем длины этих сторон: $AD = 0.5b$ (по условию). $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}b = 0.5b$ (при нашем предположении $BC=b$). Поскольку $AD \parallel MN$ и $AD = MN$, четырехугольник $ADMN$ — параллелограмм.

3. Докажем, что $ADMN$ — прямоугольник. Для этого достаточно показать, что один из его углов прямой. Рассмотрим угол $DAN$. По построению системы координат, ребро $AD$ лежит на оси $Ox$. Ребра $SA$ и $AB$ лежат в плоскости $Oyz$, которая перпендикулярна оси $Ox$. Прямая $AN$ лежит в плоскости $(SAB)$, так как точки $A$, $N$, $S$, $B$ лежат в этой плоскости. Плоскость $(SAB)$ — это плоскость $Oyz$. Так как прямая $AD$ (ось $Ox$) перпендикулярна плоскости $(SAB)$ (плоскости $Oyz$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AD \perp AN$. Таким образом, угол $\angle DAN = 90^{\circ}$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано при условии, что в исходных данных опечатка и должно быть $BC = AB$.

найдите угол между прямыми AM и CD

Будем использовать ту же систему координат и предположение, что $BC = AB = b$. Координаты точек: $A(0, 0, 0)$ $D(0.5b, 0, 0)$ $B(0, b, 0)$ $S(0, 0, \sqrt{3}b)$ При $BC=b$ и $\vec{BC}$ параллельном оси $Ox$, координаты точки $C$ будут: $C = B + (b, 0, 0) = (0, b, 0) + (b, 0, 0) = (b, b, 0)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AM}$ и $\vec{CD}$. Точка $M$ — середина $SC$: $M = \left( \frac{x_S+x_C}{2}, \frac{y_S+y_C}{2}, \frac{z_S+z_C}{2} \right) = \left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+b}{2}, \frac{\sqrt{3}b+0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{\sqrt{3}b}{2} \right)$.

Вектор $\vec{AM} = M - A = \left( \frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{\sqrt{3}b}{2} \right)$. Вектор $\vec{CD} = D - C = \left( 0.5b - b, 0 - b, 0 - 0 \right) = \left( -0.5b, -b, 0 \right) = \left( -\frac{b}{2}, -b, 0 \right)$.

Угол $\alpha$ между прямыми найдем через косинус угла между векторами по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{CD}|}$

1. Скалярное произведение: $\vec{AM} \cdot \vec{CD} = \left(\frac{b}{2}\right)\left(-\frac{b}{2}\right) + \left(\frac{b}{2}\right)(-b) + \left(\frac{\sqrt{3}b}{2}\right)(0) = -\frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{2} = -\frac{3b^2}{4}$.

2. Длины векторов: $|\vec{AM}|^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = \frac{5b^2}{4}$. $|\vec{AM}| = \sqrt{\frac{5b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{5}}{2}$.

$|\vec{CD}|^2 = \left(-\frac{b}{2}\right)^2 + (-b)^2 + 0^2 = \frac{b^2}{4} + b^2 = \frac{5b^2}{4}$. $|\vec{CD}| = \sqrt{\frac{5b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{5}}{2}$.

3. Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|-3b^2/4|}{\left(\frac{b\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{b\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{3b^2/4}{\frac{5b^2}{4}} = \frac{3}{5}$.

Следовательно, угол между прямыми $AM$ и $CD$ равен $\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\frac{3}{5}$