Номер 3, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Как построить линейный угол двугранного угла? Какое свойство имеют линейные углы двугранного угла?

Как построить линейный угол двугранного угла?

Двугранный угол — это пространственная фигура, образованная двумя полуплоскостями, называемыми гранями, которые исходят из одной общей прямой, называемой ребром двугранного угла.

Для измерения двугранного угла используется его линейный угол. Построение линейного угла выполняется следующим образом:

1. Пусть дан двугранный угол, образованный гранями $\alpha$ и $\beta$ и ребром $c$.
2. На ребре $c$ выбирается произвольная точка $O$.
3. В плоскости одной грани (например, $\alpha$) из точки $O$ проводится луч $OA$, перпендикулярный ребру $c$ ($OA \perp c$).
4. В плоскости другой грани ($\beta$) из той же точки $O$ проводится луч $OB$, также перпендикулярный ребру $c$ ($OB \perp c$).
5. Угол $\angle AOB$, образованный лучами $OA$ и $OB$, является линейным углом данного двугранного угла.

Таким образом, линейный угол — это угол, стороны которого лежат на гранях двугранного угла, перпендикулярны его ребру и имеют общую вершину на этом ребре.

Ответ: Чтобы построить линейный угол двугранного угла, необходимо на его ребре выбрать произвольную точку и из этой точки в каждой из граней восстановить перпендикуляр к ребру. Угол, образованный этими двумя перпендикулярами (лучами), и есть линейный угол.

Какое свойство имеют линейные углы двугранного угла?

Основное свойство линейных углов двугранного угла заключается в том, что все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой.

Это свойство очень важно, так как оно позволяет корректно определить величину (градусную или радианную меру) двугранного угла. Мерой двугранного угла называют меру любого из его линейных углов. Благодаря этому свойству, результат измерения не зависит от того, в какой точке ребра мы строим линейный угол.

Это можно доказать. Пусть у нас есть два линейных угла, $\angle AOB$ и $\angle A'O'B'$, построенные в точках $O$ и $O'$ на ребре $c$.

• По построению лучи $OA$ и $O'A'$ лежат в одной грани ($\alpha$) и оба перпендикулярны одной и той же прямой $c$. Следовательно, они параллельны и сонаправлены.
• Аналогично, лучи $OB$ и $O'B'$ лежат в другой грани ($\beta$) и оба перпендикулярны прямой $c$. Следовательно, они также параллельны и сонаправлены.

Мы имеем два угла, $\angle AOB$ и $\angle A'O'B'$, стороны которых соответственно параллельны и одинаково направлены. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, такие углы равны: $\angle AOB = \angle A'O'B'$.

Ответ: Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны друг другу. Это позволяет считать их общую величину мерой самого двугранного угла.