Номер 8, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Сформулируйте свойство прямой, проведённой через точку одной из перпендикулярных плоскостей перпендикулярно другой плоскости.

Требуется сформулировать свойство прямой, которая проходит через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна ко второй плоскости. Это свойство является одной из теорем стереометрии о перпендикулярности плоскостей.

Формулировка свойства (теорема)

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведённая через точку одной из плоскостей перпендикулярно другой плоскости, целиком лежит в первой плоскости.

Развернутое решение с доказательством

Дано:
Плоскости $\alpha$ и $\beta$.
Плоскости взаимно перпендикулярны: $\alpha \perp \beta$.
Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$: $A \in \alpha$.
Прямая $a$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\beta$: $A \in a$ и $a \perp \beta$.

Доказать:
Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$: $a \subset \alpha$.

Доказательство:

1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Таким образом, $\alpha \cap \beta = c$.

2. В плоскости $\alpha$ из точки $A$ проведем перпендикуляр к прямой $c$. Обозначим этот перпендикуляр как прямую $b$. По построению, прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$) и перпендикулярна прямой $c$ ($b \perp c$).

3. Воспользуемся свойством перпендикулярных плоскостей: если две плоскости перпендикулярны, то прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна и второй плоскости.

4. Применяя это свойство к нашей построенной прямой $b$, получаем: так как $\alpha \perp \beta$, $b \subset \alpha$ и $b \perp c$, то отсюда следует, что прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($b \perp \beta$).

5. Теперь мы имеем две прямые: прямую $a$ (из условия) и прямую $b$ (построенную). Обе эти прямые проходят через одну и ту же точку $A$ и обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\beta$.

6. Согласно теореме о единственности перпендикуляра к плоскости (через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости), мы можем заключить, что прямые $a$ и $b$ должны совпадать.

7. Так как прямая $b$ по построению лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ совпадает с $b$, то прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$, то есть $a \subset \alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство заключается в следующем: прямая, проведённая через точку одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно другой плоскости, лежит в первой плоскости.