Номер 10, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10*. Сформулируйте теорему о трёх синусах.

Теорема о трёх синусах (также известная как сферическая теорема синусов для трёхгранного угла) устанавливает соотношение между величинами плоских и двугранных углов произвольного трёхгранного угла.

Формулировка теоремы:

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной в точке $O$ и рёбрами (лучами) $OA$, $OB$, $OC$. Обозначим:

1. Плоские углы этого угла: $\alpha = \angle BOC$, $\beta = \angle COA$ и $\gamma = \angle AOB$.

2. Двугранные углы при рёбрах $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно как $A$, $B$ и $C$. Двугранный угол $A$ — это угол между плоскостями $AOB$ и $AOC$. Угол $B$ — между плоскостями $BOA$ и $BOC$. Угол $C$ — между плоскостями $COA$ и $COB$.

Теорема утверждает, что для любого трёхгранного угла отношение синуса любого его плоского угла к синусу противолежащего ему двугранного угла является величиной постоянной. Математически это выражается следующей формулой:

$\frac{\sin \alpha}{\sin A} = \frac{\sin \beta}{\sin B} = \frac{\sin \gamma}{\sin C}$

Пояснение:

Важно правильно определить противолежащие углы. Противолежащим плоскому углу $\alpha = \angle BOC$ (образованному рёбрами $OB$ и $OC$) является двугранный угол при ребре $OA$ (обозначаемый $A$). Аналогично, плоскому углу $\beta = \angle COA$ противолежит двугранный угол $B$ при ребре $OB$, а плоскому углу $\gamma = \angle AOB$ противолежит двугранный угол $C$ при ребре $OC$.

Эта теорема является пространственным аналогом теоремы синусов для плоского треугольника и является прямым следствием сферической теоремы синусов. Если пересечь трёхгранный угол сферой единичного радиуса с центром в его вершине $O$, то на поверхности сферы образуется сферический треугольник. Длины сторон этого сферического треугольника (выраженные в радианах) будут численно равны плоским углам трёхгранного угла ($\alpha, \beta, \gamma$), а его внутренние углы будут равны соответствующим двугранным углам ($A, B, C$).

Ответ:

Теорема о трёх синусах гласит, что в любом трёхгранном угле отношение синуса плоского угла к синусу противолежащего ему двугранного угла есть величина постоянная. Если $\alpha, \beta, \gamma$ — плоские углы трёхгранного угла, а $A, B, C$ — противолежащие им соответственно двугранные углы, то справедливо равенство: $\frac{\sin \alpha}{\sin A} = \frac{\sin \beta}{\sin B} = \frac{\sin \gamma}{\sin C}$.