Номер 13, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовите линейный угол двугранного угла:

а) $DD_1$;

б) $A_1B_1$.

По определению, линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру. В прямоугольном параллелепипеде все грани — прямоугольники, а смежные грани перпендикулярны друг другу.

а) DD₁
Двугранный угол с ребром $DD_1$ образован плоскостями граней $(ADD_1A_1)$ и $(CDD_1C_1)$.
Возьмем на ребре $DD_1$ точку $D$.

1. В плоскости грани $(ADD_1A_1)$ проведем перпендикуляр к ребру $DD_1$ через точку $D$. Так как грань $ADD_1A_1$ — прямоугольник, то ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$. Итак, $AD \perp DD_1$.
2. В плоскости грани $(CDD_1C_1)$ проведем перпендикуляр к ребру $DD_1$ через ту же точку $D$. Так как грань $CDD_1C_1$ — прямоугольник, то ребро $CD$ перпендикулярно ребру $DD_1$. Итак, $CD \perp DD_1$.

Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол между лучами $DA$ и $DC$, то есть угол $\angle ADC$. Поскольку основание $ABCD$ является прямоугольником, этот угол равен $90^\circ$.
Аналогично, если выбрать точку $D_1$ на ребре, линейным углом будет $\angle A_1D_1C_1$.
Ответ: $\angle ADC$ (или $\angle A_1D_1C_1$).

б) A₁B₁
Двугранный угол с ребром $A_1B_1$ образован плоскостями граней $(ABB_1A_1)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$.
Возьмем на ребре $A_1B_1$ точку $A_1$.

1. В плоскости грани $(ABB_1A_1)$ проведем перпендикуляр к ребру $A_1B_1$ через точку $A_1$. Так как грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник, то ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$. Итак, $AA_1 \perp A_1B_1$.
2. В плоскости грани $(A_1B_1C_1D_1)$ проведем перпендикуляр к ребру $A_1B_1$ через ту же точку $A_1$. Так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник, то ребро $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$. Итак, $A_1D_1 \perp A_1B_1$.

Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол между лучами $A_1A$ и $A_1D_1$, то есть угол $\angle AA_1D_1$. Поскольку боковая грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником, этот угол равен $90^\circ$.
Аналогично, если выбрать точку $B_1$ на ребре, линейным углом будет $\angle BB_1C_1$.
Ответ: $\angle AA_1D_1$ (или $\angle BB_1C_1$).