Номер 12, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Сколько двугранных углов имеет:

а) треугольная пирамида;

б) параллелепипед?

а) треугольная пирамида

Двугранный угол — это угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями), исходящими из одной общей прямой (ребра). В любом многограннике количество двугранных углов равно количеству его ребер, так как каждое ребро является линией пересечения ровно двух граней.

Треугольная пирамида (также называемая тетраэдром) — это многогранник, у которого есть основание в виде треугольника и три боковые грани, также являющиеся треугольниками и сходящиеся в одной вершине.

Чтобы найти количество двугранных углов, необходимо посчитать количество ребер у этой фигуры. У треугольной пирамиды 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды.

Общее количество ребер равно сумме ребер основания и боковых ребер: $3 + 3 = 6$.

Так как каждому ребру соответствует один двугранный угол, то треугольная пирамида имеет 6 двугранных углов.

Ответ: 6

б) параллелепипед

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Аналогично предыдущему пункту, количество двугранных углов у параллелепипеда равно количеству его ребер.

Подсчитаем ребра параллелепипеда. Он имеет два основания (верхнее и нижнее), каждое из которых представляет собой параллелограмм с 4 ребрами. Также есть 4 боковых ребра, которые соединяют соответствующие вершины оснований.

Таким образом, общее количество ребер равно: $4 (\text{нижнее основание}) + 4 (\text{верхнее основание}) + 4 (\text{боковые}) = 12$.

Этот результат можно также проверить с помощью формулы Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней. У параллелепипеда 8 вершин ($В=8$) и 6 граней ($Г=6$). Тогда число ребер $Р$ будет: $Р = В + Г - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$.

Следовательно, параллелепипед имеет 12 двугранных углов.

Ответ: 12