Номер 9, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте свойство линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей.

9. Свойство, о котором идет речь, является одной из теорем стереометрии о перпендикулярности плоскостей. Для развернутого ответа необходимо сформулировать эту теорему и доказать ее.

Формулировка свойства (теоремы)

Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Более формально: пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. Если плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$) и плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$), то их линия пересечения $c$ также перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Доказательство

Дано:
Плоскость $\alpha \perp$ плоскости $\gamma$.
Плоскость $\beta \perp$ плоскости $\gamma$.
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ ($\alpha \cap \beta = c$).

Доказать:
Прямая $c \perp$ плоскости $\gamma$.

Ход доказательства:
1. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, их линия пересечения $c$ существует. Выберем на прямой $c$ произвольную точку $A$.
2. Поскольку точка $A$ лежит на линии пересечения $c$, она по определению принадлежит обеим плоскостям: $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.
3. Из точки $A$ опустим перпендикуляр $p$ на плоскость $\gamma$. Согласно теореме о существовании и единственности перпендикуляра к плоскости, такая прямая $p$ существует и она единственна.
4. Рассмотрим пару перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Так как $A \in \alpha$ и $\alpha \perp \gamma$, то перпендикуляр $p$, опущенный из точки $A$ на плоскость $\gamma$, целиком лежит в плоскости $\alpha$ (это следует из свойства перпендикулярных плоскостей). Таким образом, $p \subset \alpha$.
5. Аналогично, рассмотрим пару перпендикулярных плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Так как $A \in \beta$ и $\beta \perp \gamma$, то тот же самый перпендикуляр $p$, опущенный из точки $A$ на плоскость $\gamma$, должен целиком лежать и в плоскости $\beta$. Таким образом, $p \subset \beta$.
6. Из шагов 4 и 5 следует, что прямая $p$ является общей прямой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть лежит на их пересечении.
7. По условию, линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $c$. Следовательно, прямая $p$ должна совпадать с прямой $c$.
8. По нашему построению на шаге 3, прямая $p$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($p \perp \gamma$).
9. Так как прямые $p$ и $c$ совпадают, то и прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.