Номер 304, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

304. В треугольной пирамиде расстояние между серединами двух скрещивающихся рёбер равно 13. Найдите угол между второй парой скрещивающихся рёбер, учитывая, что их длины 10 и 24.

Пусть дан тетраэдр (треугольная пирамида) $ABCD$. В тетраэдре имеется три пары скрещивающихся рёбер: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.

Согласно условию задачи, нам даны длины рёбер одной из пар скрещивающихся рёбер, и мы должны найти угол между ними. Обозначим эту пару как $(AC, BD)$, где $AC = 10$ и $BD = 24$. Искомый угол между этими рёбрами обозначим как $\alpha$.

Также в условии сказано, что расстояние между серединами другой пары скрещивающихся рёбер равно 13. В тетраэдре есть две оставшиеся пары: $(AB, CD)$ и $(AD, BC)$. Выбор конкретной пары не повлияет на конечный результат. Для определённости, выберем пару $(AD, BC)$. Пусть $K$ и $L$ — середины рёбер $AD$ и $BC$ соответственно. Тогда длина отрезка $KL$ равна 13.

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на свойствах средних линий тетраэдра. Рассмотрим середины четырёх рёбер: $P$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $Q$ — середина $CD$ и $K$ — середина $DA$. Соединив эти точки последовательно, получим четырёхугольник $PLQK$. В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $PL$ является средней линией, следовательно, $PL$ параллелен $AC$ и равен половине её длины: $PL \parallel AC$ и $PL = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$. В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $PK$ является средней линией, следовательно, $PK$ параллелен $BD$ и равен половине её длины: $PK \parallel BD$ и $PK = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$. Аналогично, из треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ находим, что средние линии $KQ \parallel AC$ и $KQ = 5$, а $LQ \parallel BD$ и $LQ = 12$.

Поскольку у четырёхугольника $PLQK$ противолежащие стороны попарно параллельны и равны ($PL \parallel KQ$, $PL=KQ$ и $PK \parallel LQ$, $PK=LQ$), он является параллелограммом.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным. В нашем случае, стороны параллелограмма $PL$ и $PK$ параллельны рёбрам $AC$ и $BD$ соответственно. Следовательно, угол между ними равен искомому углу $\alpha$. То есть, $\alpha = \angle KPL$.

Диагоналями этого параллелограмма являются отрезки $KL$ и $PQ$, которые соединяют середины двух пар скрещивающихся рёбер: $(AD, BC)$ и $(AB, CD)$. По нашему выбору, длина диагонали $KL$ равна 13. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PKL$, образованный двумя сторонами и одной диагональю параллелограмма. Длины его сторон нам известны: $PL = 5$, $PK = 12$ и $KL = 13$.

Применим к треугольнику $\triangle PKL$ теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle KPL$:$KL^2 = PK^2 + PL^2 - 2 \cdot PK \cdot PL \cdot \cos(\alpha)$Подставим известные значения:$13^2 = 12^2 + 5^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)$$169 = 144 + 25 - 120 \cdot \cos(\alpha)$$169 = 169 - 120 \cdot \cos(\alpha)$Отсюда следует, что $120 \cdot \cos(\alpha) = 0$, и значит $\cos(\alpha) = 0$.

Поскольку угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, то из $\cos(\alpha) = 0$ следует, что $\alpha = 90^\circ$.

Следует отметить, что результат не зависит от первоначального выбора пар рёбер. Если бы расстояние 13 было дано для пары рёбер $(AB, CD)$, то длина другой диагонали параллелограмма, $PQ$, была бы равна 13. Рассматривая треугольник $\triangle PQL$ со сторонами $PL=5$, $LQ=12$ и $PQ=13$, мы бы аналогично обнаружили, что он прямоугольный, и угол $\angle PLQ$ (также равный $\alpha$) равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.