Номер 299, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

299. Боковое ребро $RA$ четырёхугольной пирамиды, основанием которой является прямоугольник $ABCD$, перпендикулярно плоскости основания (рис. 286). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $RAC$, учитывая, что ребро $RB$ равно 20 мм, боковые рёбра $RB$ и $RD$ наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно.

Рис. 286

Дано: четырехугольная пирамида $RABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник. Боковое ребро $RA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. $RB = 20$ мм. Угол наклона ребра $RB$ к плоскости основания равен $30^\circ$. Угол наклона ребра $RD$ к плоскости основания равен $45^\circ$.
Найти: радиус окружности, описанной около треугольника $RAC$.

Решение:

Поскольку боковое ребро $RA$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, оно является высотой пирамиды. Это также означает, что $RA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $A$. Следовательно, $\triangle RAB$ и $\triangle RAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$ ($\angle RAB = 90^\circ$ и $\angle RAD = 90^\circ$).

Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость.
Проекцией ребра $RB$ на плоскость основания является отрезок $AB$. По условию, угол между ребром $RB$ и плоскостью основания равен $30^\circ$, следовательно, $\angle RBA = 30^\circ$.
Аналогично, проекцией ребра $RD$ на плоскость основания является отрезок $AD$. Угол между ребром $RD$ и плоскостью основания равен $45^\circ$, следовательно, $\angle RDA = 45^\circ$.

1. Найдем высоту пирамиды $RA$ и стороны основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $RAB$. В нем известна гипотенуза $RB = 20$ мм и острый угол $\angle RBA = 30^\circ$. Найдем катеты $RA$ и $AB$:
$RA = RB \cdot \sin(\angle RBA) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ мм.
$AB = RB \cdot \cos(\angle RBA) = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ мм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $RAD$. В нем известен катет $RA = 10$ мм и острый угол $\angle RDA = 45^\circ$. Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, $AD = RA = 10$ мм.

2. Найдем диагональ основания $AC$.

Основание пирамиды $ABCD$ — прямоугольник, значит, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B = 90^\circ$. Катеты этого треугольника равны $AB = 10\sqrt{3}$ мм и $BC = AD = 10$ мм. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 = 100 \cdot 3 + 100 = 300 + 100 = 400$.
$AC = \sqrt{400} = 20$ мм.

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $RAC$.

Так как ребро $RA$ перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно и диагонали $AC$, которая лежит в этой плоскости. Таким образом, $\triangle RAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle RAC = 90^\circ$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. В $\triangle RAC$ гипотенузой является сторона $RC$. Найдем ее длину по теореме Пифагора, используя ранее найденные катеты $RA = 10$ мм и $AC = 20$ мм:
$RC^2 = RA^2 + AC^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$.
$RC = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$ мм.

Теперь найдем искомый радиус $R$ описанной окружности:
$R = \frac{RC}{2} = \frac{10\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}$ мм.

Ответ: $5\sqrt{5}$ мм.