Номер 284, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

284. Основанием четырёхугольной пирамиды $QABCD$ является ромб $ABCD$ с углом $ABC$ и стороной $AB$, соответственно равными $60^{\circ}$ и $a$. Её боковое ребро $AQ$ перпендикулярно плоскости основания. Найдите это ребро и расстояние от точки $A$ до плоскости $QDC$, учитывая, что площадь грани $QDC$ равна $a^2$.

В данной задаче нам нужно найти длину бокового ребра $AQ$ и расстояние от точки $A$ до плоскости $QDC$ для пирамиды $QABCD$. Основанием пирамиды является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и углом $\angle ABC = 60^\circ$. Боковое ребро $AQ$ перпендикулярно плоскости основания, а площадь грани $QDC$ равна $a^2$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — ромб $ABCD$. Все его стороны равны $a$. Угол $\angle ABC = 60^\circ$. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Противолежащие углы ромба равны, следовательно $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$.

2. Площадь грани $QDC$ известна и равна $a^2$. Эта грань является треугольником. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Возьмем сторону ромба $CD = a$ за основание треугольника $QDC$. Пусть $QK$ — высота, проведенная из вершины $Q$ к стороне $CD$.

Тогда $S_{QDC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot QK$.

Подставим известные значения:

$a^2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot QK$

Отсюда находим длину апофемы $QK$ грани $QDC$:

$QK = \frac{2a^2}{a} = 2a$

3. По условию, ребро $AQ$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Рассмотрим наклонную $QK$ к плоскости основания и ее проекцию $AK$. Так как $QK$ перпендикулярна прямой $CD$ в плоскости основания (по построению высоты), то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $AK$ также перпендикулярна прямой $CD$ ($AK \perp CD$).

4. Длина отрезка $AK$ — это расстояние от вершины $A$ до прямой $CD$. Это расстояние равно высоте ромба. Площадь ромба можно вычислить как произведение стороны на высоту, а также через стороны и угол между ними.

$S_{ABCD} = a \cdot a \cdot \sin(\angle ADC) = a^2 \sin(60^\circ) = a^2\frac{\sqrt{3}}{2}$

С другой стороны, $S_{ABCD} = CD \cdot AK = a \cdot AK$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$a \cdot AK = a^2\frac{\sqrt{3}}{2}$

$AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AQK$ (угол $\angle QAK = 90^\circ$, так как $AQ$ перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, в том числе и $AK$). По теореме Пифагора:

$AQ^2 + AK^2 = QK^2$

$AQ^2 = QK^2 - AK^2$

Подставим найденные значения $QK$ и $AK$:

$AQ^2 = (2a)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{16a^2 - 3a^2}{4} = \frac{13a^2}{4}$

$AQ = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$

Ответ: Длина ребра $AQ$ равна $\frac{a\sqrt{13}}{2}$.

1. Для нахождения расстояния от точки $A$ до плоскости $QDC$ воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $AQDC$. Его объем $V$ можно вычислить двумя способами.

2. Способ 1. Примем за основание треугольник $ADC$, лежащий в плоскости основания пирамиды. Тогда высотой тетраэдра будет ребро $AQ$, так как оно перпендикулярно плоскости основания.

$V = \frac{1}{3} S_{ADC} \cdot AQ$

Найдем площадь треугольника $ADC$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $AD=DC=a$ и углом между ними $\angle ADC = 60^\circ$. Следовательно, он равносторонний.

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot DC \cdot \sin(\angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Длину $AQ$ мы нашли в предыдущем пункте: $AQ = \frac{a\sqrt{13}}{2}$.

Тогда объем тетраэдра:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{13}}{2} = \frac{a^3\sqrt{39}}{24}$

3. Способ 2. Примем за основание треугольник $QDC$. Тогда высотой тетраэдра будет искомое расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $QDC$.

$V = \frac{1}{3} S_{QDC} \cdot h$

По условию, площадь грани $QDC$ равна $S_{QDC} = a^2$.

$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$

4. Приравняем выражения для объема, полученные двумя способами:

$\frac{1}{3} a^2 h = \frac{a^3\sqrt{39}}{24}$

Выразим отсюда искомое расстояние $h$:

$h = \frac{a^3\sqrt{39}}{24} \cdot \frac{3}{a^2} = \frac{3a^3\sqrt{39}}{24a^2} = \frac{a\sqrt{39}}{8}$

Ответ: Расстояние от точки $A$ до плоскости $QDC$ равно $\frac{a\sqrt{39}}{8}$.