Номер 280, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

280. Точка $F$ лежит на прямой, проходящей через вершину $B$ квадрата $ABCD$ перпендикулярно его плоскости. Учитывая, что $BF = 8$ дм, $AB = 15$ дм, найдите расстояние от точки $F$ до прямых, которым принадлежат:

а) стороны квадрата;

б) диагонали квадрата.

По условию задачи, прямая, содержащая отрезок $BF$, перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$. Это означает, что отрезок $BF$ является перпендикуляром, опущенным из точки $F$ на плоскость $(ABCD)$, а точка $B$ — его основание. Длина этого перпендикуляра $BF = 8$ дм. Сторона квадрата $AB = 15$ дм.

а) стороны квадрата;

Найдем расстояние от точки $F$ до прямых, содержащих стороны квадрата $AB, BC, CD, DA$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

1. Расстояние до прямых AB и BC.
Поскольку $BF \perp (ABCD)$, то $BF$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $BF \perp AB$ и $BF \perp BC$. Таким образом, отрезки $FB$ являются перпендикулярами от точки $F$ к прямым $AB$ и $BC$.
Расстояние от $F$ до $AB$ равно $BF = 8$ дм.
Расстояние от $F$ до $BC$ равно $BF = 8$ дм.

2. Расстояние до прямой AD.
Проведем наклонную $FA$ к плоскости $(ABCD)$. Ее проекцией на эту плоскость является отрезок $BA$. В квадрате $ABCD$ стороны смежные стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp AD$.
По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BA$ перпендикулярна прямой $AD$, то и сама наклонная $FA$ перпендикулярна прямой $AD$ ($FA \perp AD$). Следовательно, длина отрезка $FA$ и есть искомое расстояние от точки $F$ до прямой $AD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBA$ (угол $\angle FBA = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора:
$FA^2 = FB^2 + AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
$FA = \sqrt{289} = 17$ дм.

3. Расстояние до прямой CD.
Аналогично, проведем наклонную $FC$. Ее проекцией на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $BC$. В квадрате $ABCD$ имеем $BC \perp CD$.
По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $FC$ перпендикулярна прямой $CD$ ($FC \perp CD$). Расстояние от $F$ до $CD$ равно длине $FC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBC$ (угол $\angle FBC = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора:
$FC^2 = FB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
$FC = \sqrt{289} = 17$ дм.

Ответ: расстояние от точки F до прямых AB и BC равно 8 дм; расстояние до прямых AD и CD равно 17 дм.

б) диагонали квадрата.

Найдем расстояние от точки $F$ до прямых, содержащих диагонали квадрата $AC$ и $BD$.

1. Расстояние до прямой BD.
Прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $B$. Так как $BF \perp (ABCD)$, то $BF \perp BD$. Таким образом, длина отрезка $BF$ является расстоянием от точки $F$ до прямой $BD$.
Расстояние от $F$ до $BD$ равно $BF = 8$ дм.

2. Расстояние до прямой AC.
Пусть $FH$ — перпендикуляр из точки $F$ на прямую $AC$ ($H \in AC$). Тогда длина $FH$ — искомое расстояние. Отрезок $FH$ является наклонной к плоскости $(ABCD)$, а $BH$ — ее проекцией.
По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $FH$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $BH$ перпендикулярна $AC$.
В плоскости квадрата $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на диагональ $AC$. В квадрате диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $O$. Тогда $BO \perp AC$, и точка $H$ совпадает с точкой $O$. Таким образом, $BH = BO$.
Найдем длину $BO$. Диагональ квадрата $BD = AB \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ дм.
Тогда $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{15\sqrt{2}}{2}$ дм.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBO$ (угол $\angle FBO = 90^{\circ}$, так как $FB \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $FO$, которая равна искомому расстоянию $FH$.
$FO^2 = FB^2 + BO^2 = 8^2 + \left(\frac{15\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 64 + \frac{225 \cdot 2}{4} = 64 + \frac{225}{2} = \frac{128 + 225}{2} = \frac{353}{2}$
$FO = \sqrt{\frac{353}{2}} = \frac{\sqrt{706}}{2}$ дм.

Ответ: расстояние от точки F до прямой BD равно 8 дм; расстояние до прямой AC равно $\sqrt{\frac{353}{2}}$ дм.