Номер 3, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Какое свойство имеет многоугольник, все вершины которого равно- удалены от данной точки пространства?

Пусть дан многоугольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$ и точка $O$ в пространстве. По условию задачи, все вершины многоугольника равноудалены от точки $O$. Это означает, что расстояния от точки $O$ до каждой вершины равны между собой:

$OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n = R$

где $R$ — некоторое постоянное положительное число.

Совокупность всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии $R$ от точки $O$, образует сферу с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Таким образом, все вершины $A_1, A_2, \dots, A_n$ принадлежат этой сфере.

С другой стороны, любой многоугольник по определению является плоской фигурой. Это значит, что все его вершины $A_1, A_2, \dots, A_n$ лежат в одной плоскости.

Следовательно, все вершины данного многоугольника должны лежать на пересечении сферы и плоскости. Пересечением сферы и плоскости является окружность (или точка, если плоскость касается сферы, или пустое множество, если они не пересекаются). Так как у многоугольника есть как минимум три вершины, их пересечение не может быть одной точкой, а значит, является окружностью.

Таким образом, все вершины многоугольника лежат на одной окружности. Многоугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности, называется вписанным в эту окружность, или циклическим.

Ответ: Около такого многоугольника можно описать окружность (то есть, он является вписанным в окружность).