Номер 2, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Какое свойство имеет многоугольник, все стороны которого равноудалены от данной точки пространства?

Пусть многоугольник лежит в плоскости $\alpha$, а $O$ — данная точка в пространстве. Прямые, содержащие стороны многоугольника, обозначим $l_1, l_2, \dots, l_n$. По условию, расстояние от точки $O$ до каждой из этих прямых одинаково и равно некоторому значению $d$.

Пусть $O'$ — ортогональная проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина отрезка $OO'$, обозначим ее $h$. Если точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$, то $O'$ совпадает с $O$ и $h=0$.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника, лежащую на прямой $l_i$. Расстояние от точки $O$ до прямой $l_i$ — это длина перпендикуляра $OK_i$, где $K_i$ — точка на прямой $l_i$. Таким образом, $OK_i = d$ и $OK_i \perp l_i$.

Так как $O'$ — проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$, а $K_i$ — точка на прямой $l_i$, лежащей в этой плоскости, то отрезок $O'K_i$ является проекцией наклонной $OK_i$ на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах: если наклонная ($OK_i$) перпендикулярна прямой на плоскости ($l_i$), то и ее проекция ($O'K_i$) перпендикулярна той же прямой. Следовательно, $O'K_i \perp l_i$. Это означает, что длина отрезка $O'K_i$ является расстоянием от точки $O'$ до прямой $l_i$. Обозначим это расстояние как $r_i$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K_i$. Его катеты — $OO'$ и $O'K_i$, а гипотенуза — $OK_i$. По теореме Пифагора:

$OK_i^2 = OO'^2 + O'K_i^2$

Подставим наши обозначения:

$d^2 = h^2 + r_i^2$

Выразим отсюда $r_i$:

$r_i = \sqrt{d^2 - h^2}$

Так как значения $d$ (расстояние от точки $O$ до сторон) и $h$ (расстояние от точки $O$ до плоскости многоугольника) постоянны для всех сторон многоугольника, то и величина $r_i$ будет одинаковой для всех сторон. Обозначим это постоянное расстояние как $r$.

Таким образом, мы доказали, что существует точка $O'$ в плоскости многоугольника, которая равноудалена от всех его сторон. По определению, это означает, что в данный многоугольник можно вписать окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $r = \sqrt{d^2 - h^2}$. Такой многоугольник называется описанным (или тангенциальным).

Ответ: В такой многоугольник можно вписать окружность (он является описанным около окружности).