Номер 267, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

267. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ параллельно прямой $BC$ проведена плоскость $\gamma$, и из точек $B$ и $C$ на плоскость $\gamma$ опущены перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Найдите площадь треугольника $ABC$, учитывая, что $\angle B_1AC_1 = 90^\circ$, $AB_1 = 12$ см, $AC = 5\sqrt{2}$ см, а расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $\gamma$ равно 5 см.

1. Анализ условия и определение ключевых длин.

По условию, через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена плоскость $\gamma$, параллельная прямой $BC$. Это означает, что прямая $BC$ и плоскость $\gamma$ не пересекаются, и расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $\gamma$ одинаково.

Из точек $B$ и $C$ на плоскость $\gamma$ опущены перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Длины этих перпендикуляров равны расстоянию от точек $B$ и $C$ до плоскости $\gamma$. Так как прямая $BC$ параллельна плоскости $\gamma$, это расстояние постоянно и равно заданному расстоянию между прямой $BC$ и плоскостью $\gamma$, то есть 5 см.

Следовательно, $BB_1 = CC_1 = 5$ см.

2. Нахождение сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как $BB_1$ - перпендикуляр к плоскости $\gamma$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B_1$. В частности, $BB_1 \perp AB_1$. Следовательно, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AB_1B$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$: $AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$ $AB^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $AB = \sqrt{169} = 13$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $ACC_1$. Так как $CC_1 \perp \gamma$, то $CC_1 \perp AC_1$, и треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AC_1C$. По условию нам известна гипотенуза $AC = 5\sqrt{2}$ см и катет $CC_1 = 5$ см. Найдем второй катет $AC_1$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$ $(5\sqrt{2})^2 = AC_1^2 + 5^2$ $50 = AC_1^2 + 25$ $AC_1^2 = 50 - 25 = 25$ $AC_1 = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем сторону $BC$. Рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. Так как $BB_1 \perp \gamma$ и $CC_1 \perp \gamma$, то прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Поскольку $BB_1 = CC_1$, четырехугольник $BCC_1B_1$ является параллелограммом. Более того, так как боковые стороны $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания $AB_1C_1$, этот параллелограмм является прямоугольником. Следовательно, $BC = B_1C_1$.

Длину отрезка $B_1C_1$ найдем из треугольника $B_1AC_1$, который лежит в плоскости $\gamma$. По условию, $\angle B_1AC_1 = 90^\circ$, значит, треугольник $B_1AC_1$ прямоугольный. Мы знаем его катеты: $AB_1 = 12$ см и $AC_1 = 5$ см. По теореме Пифагора: $B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2$ $B_1C_1^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $B_1C_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Таким образом, $BC = 13$ см.

3. Вычисление площади треугольника $ABC$.

Мы нашли все три стороны треугольника $ABC$: $AB = 13$ см, $AC = 5\sqrt{2}$ см, $BC = 13$ см.

Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ - середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 13^2 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 169 - \frac{25 \cdot 2}{4} = 169 - \frac{50}{4} = 169 - 12.5 = 156.5$ $BH = \sqrt{156.5} = \sqrt{\frac{313}{2}}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{313}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{313}}{\sqrt{2}}$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{313} = \frac{5\sqrt{313}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{313}}{2}$ см$^2$.