Номер 262, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

262. Концы отрезка длиной 100 см принадлежат параллельным плоскостям, расстояние между которыми равно 80 см. Найдите проекции отрезка на каждую плоскость.

Пусть дан отрезок $AB$ с длиной $L = 100$ см. Его концы, точки $A$ и $B$, лежат на двух параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Расстояние между этими плоскостями, обозначим его $h$, равно 80 см.

Требуется найти длину проекции отрезка $AB$ на каждую из плоскостей.

Рассмотрим проекцию отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. Для этого из точки $B$ опустим перпендикуляр $BB'$ на плоскость $\alpha$. Точка $A$ уже лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с ней самой. Точка $B'$ является проекцией точки $B$. Следовательно, отрезок $AB'$ — это ортогональная проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$.

Длина перпендикуляра $BB'$ равна расстоянию между параллельными плоскостями, то есть $BB' = h = 80$ см. Так как $BB'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $AB'$. Таким образом, треугольник $\triangle ABB'$ является прямоугольным, с гипотенузой $AB$ и катетами $BB'$ и $AB'$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$

Подставим известные значения и найдем длину проекции $AB'$: $100^2 = (AB')^2 + 80^2$ $(AB')^2 = 100^2 - 80^2$ $(AB')^2 = 10000 - 6400 = 3600$ $AB' = \sqrt{3600} = 60$ см.

Таким образом, длина проекции отрезка на плоскость $\alpha$ составляет 60 см.

Поскольку плоскости параллельны, длина проекции отрезка на плоскость $\beta$ будет такой же. Геометрически, отрезки $AB$, его проекция на плоскость $\alpha$ ($AB'$), его проекция на плоскость $\beta$ и перпендикуляры между плоскостями образуют в пространстве фигуру, у которой проекции являются равными сторонами. Следовательно, проекция отрезка на каждую из плоскостей будет одинаковой.

Ответ: проекция отрезка на каждую плоскость равна 60 см.