Номер 259, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

259. Дан прямоугольный параллелепипед $PQRSP_1Q_1R_1S_1$ (см. рис. 260).

Назовите отрезки, длина которых выражает расстояние между параллельными прямой и плоскостью:

a) $PQ$ и $P_1Q_1R_1S_1$;

б) $PQ_1$ и $SS_1R_1R$;

в) $PR$ и $P_1Q_1R_1S_1$.

Рис. 260

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость.

Прямая PQ лежит в плоскости нижнего основания PQRS. Плоскость P₁Q₁R₁S₁ является плоскостью верхнего основания. Так как в прямоугольном параллелепипеде основания параллельны ($PQRS \parallel P_1Q_1R_1S_1$), то прямая PQ, принадлежащая нижнему основанию, параллельна плоскости верхнего основания. Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда (PP₁, QQ₁, RR₁, SS₁) перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, чтобы найти расстояние между прямой PQ и плоскостью P₁Q₁R₁S₁, можно взять любую точку на прямой PQ, например, P или Q, и опустить из нее перпендикуляр на плоскость P₁Q₁R₁S₁. Такими перпендикулярами будут отрезки PP₁ и QQ₁.

Ответ: PP₁ и QQ₁.

Прямая PQ₁ является диагональю передней грани PQQ₁P₁. Плоскость SS₁R₁R — это задняя грань параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани параллельны, значит, грань PQQ₁P₁ параллельна грани SS₁R₁R. Прямая PQ₁ лежит в плоскости PQQ₁P₁, следовательно, она параллельна плоскости SS₁R₁R. Расстояние между ними равно расстоянию между этими параллельными гранями. Ребра PS, QR, P₁S₁, Q₁R₁ перпендикулярны граням PQQ₁P₁ и SS₁R₁R. Отрезки, которые соединяют точки прямой PQ₁ (а именно, точки P и Q₁) с плоскостью SS₁R₁R и являются перпендикулярами к ней, — это отрезки PS и Q₁R₁.

Ответ: PS и Q₁R₁.

Прямая PR является диагональю нижнего основания PQRS. Плоскость P₁Q₁R₁S₁ — это верхнее основание. Так как основания параллелепипеда параллельны, прямая PR, лежащая в нижнем основании, параллельна плоскости верхнего основания. Расстояние между прямой и плоскостью равно расстоянию между основаниями, то есть высоте параллелепипеда. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Отрезки, которые опущены из точек прямой PR (например, из точек P и R) перпендикулярно на плоскость P₁Q₁R₁S₁, — это боковые ребра PP₁ и RR₁.

Ответ: PP₁ и RR₁.