Номер 261, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

261*. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямой $AB$ (рис. 261) и прямой:

а) $B_1C_1$;

б) $B_1D_1$;

в) $A_1D_1$;

г) $C_1D_1$;

д) $F_1E_1$;

е) $D_1F_1$.

Рис. 261

Поскольку призма правильная, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками и лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра равны $a$, следовательно, высота призмы также равна $a$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. В данной задаче прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания, а вторая прямая, обозначим ее $L$, лежит в плоскости верхнего основания. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно высоте призмы $a$.

Рассмотрим ортогональную проекцию призмы на плоскость нижнего основания. Прямая $AB$ проектируется сама в себя. Прямая $L$ из верхнего основания проектируется в некоторую прямую $L'$ в плоскости нижнего основания. Если прямые $AB$ и $L'$ пересекаются в некоторой точке $P$, то прямая, проходящая через точку $P$ перпендикулярно плоскости основания, является общим перпендикуляром для прямых $AB$ и $L$. Длина этого общего перпендикуляра равна расстоянию между основаниями, то есть $a$. Это следует из того, что такая вертикальная прямая перпендикулярна обеим плоскостям оснований и, следовательно, всем прямым, лежащим в этих плоскостях.

Таким образом, для решения задачи в каждом пункте достаточно проверить, что проекция указанной прямой на нижнее основание пересекает прямую $AB$. Две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда они не параллельны. В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Прямой $AB$ в нем параллельна только противолежащая сторона $ED$.

Проекцией прямой $B_1C_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $BC$. Прямые $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника и пересекаются в точке $B$. Следовательно, они не параллельны. Согласно общему принципу, изложенному выше, расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно высоте призмы.

Более строго, отрезок $BB_1$ является их общим перпендикуляром. Он соединяет точку $B$ на прямой $AB$ с точкой $B_1$ на прямой $B_1C_1$. Так как призма правильная (а значит, прямая), ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, в том числе $AB$. Аналогично, $BB_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и прямой $B_1C_1$. Длина ребра $BB_1$ равна $a$.

Ответ: $a$.

Проекцией прямой $B_1D_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $BD$. Прямая $BD$ является диагональю шестиугольника. Прямые $AB$ и $BD$ пересекаются в точке $B$, следовательно, не параллельны. Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равно высоте призмы. Общим перпендикуляром снова является ребро $BB_1$ длиной $a$.

Ответ: $a$.

Проекцией прямой $A_1D_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $AD$. $AD$ — это большая диагональ шестиугольника. Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$, следовательно, не параллельны. Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1D_1$ равно высоте призмы. Общим перпендикуляром является ребро $AA_1$ длиной $a$.

Ответ: $a$.

Проекцией прямой $C_1D_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $CD$. В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $CD$ не параллельны (они разделены стороной $BC$). Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Следовательно, по общему принципу, расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равно высоте призмы $a$.

Ответ: $a$.

Проекцией прямой $F_1E_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $FE$. В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $FE$ не параллельны (они разделены стороной $AF$). Следовательно, прямые $AB$ и $FE$ пересекаются. Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $F_1E_1$ равно высоте призмы $a$.

Ответ: $a$.

Проекцией прямой $D_1F_1$ на плоскость нижнего основания является прямая $DF$. $DF$ — это малая диагональ шестиугольника. Прямая $DF$ не параллельна стороне $AB$. Следовательно, прямые $AB$ и $DF$ пересекаются. Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $D_1F_1$ равно высоте призмы $a$.

Ответ: $a$.